有界變差函數 (function of finite variation, BV function)是一種藉助描述函數震盪快慢的量而定義的函數。向量值測度 的有界變差性在泛函分析中經常會用到,詳見向量值測度#變差 。
這個頁面主要介紹一元函數的有界變差函數,多元函數的情形參見/多元函數 。
概念 [ ]
設
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
定義在區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上,做一個分劃
Δ
:
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
⋯
<
x
n
=
b
{\displaystyle \Delta: a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b}
,稱以下數值
v
Δ
=
∑
k
=
1
n
|
f
(
x
k
)
−
f
(
x
k
−
1
)
|
{\displaystyle v_\Delta = \sum_{k=1}^n | f(x_k) - f(x_{k-1}) |}
為函數
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的變差,而
⋁
a
b
(
f
)
:=
sup
v
Δ
.
{\displaystyle \bigvee_a^b (f) := \sup v_\Delta.}
稱為
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的全變差,即取所有變差的上確界。如果
⋁
a
b
(
f
)
<
+
∞
,
{\displaystyle \bigvee_a^b (f) < + \infty,}
我們就說
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的有界變差函數。
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
所有有界變差函數的全體記作
B
V
(
[
a
,
b
]
)
.
{\displaystyle BV([a, b]).}
展開例子 摺疊例子
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的有界單調函數滿足
⋁
a
b
(
f
)
=
|
f
(
b
)
−
f
(
a
)
|
<
+
∞
{\displaystyle \bigvee_a^b (f) = |f(b) - f(a)| < +\infty}
是有界變差函數。
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的可微函數也是有界變差函數。
函數
f
(
x
)
=
{
x
sin
1
x
,
x
≠
0
,
0
,
x
=
0
,
{\displaystyle f(x) = \begin{cases} x\sin\dfrac{1}{x}, & x \ne 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}}
則不是任意包含原點的區間上的有界變差函數。
Jordan 分解定理 [ ]
f
(
x
)
∈
B
V
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle f(x) \in BV([a, b])}
當且僅當存在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的遞增實值函數
g
(
x
)
,
h
(
x
)
{\displaystyle g(x), h(x)}
使得
f
(
x
)
=
g
(
x
)
−
h
(
x
)
.
{\displaystyle f(x) = g(x) - h(x).}
實際上,
g
(
x
)
=
1
2
⋁
a
x
(
f
)
+
1
2
f
(
x
)
,
h
(
x
)
=
1
2
⋁
a
x
(
f
)
−
1
2
f
(
x
)
.
{\displaystyle g(x)={\dfrac {1}{2}}\bigvee _{a}^{x}(f)+{\dfrac {1}{2}}f(x),\quad h(x)={\dfrac {1}{2}}\bigvee _{a}^{x}(f)-{\dfrac {1}{2}}f(x).}
由上式定義的函數
⋁
a
x
(
f
)
{\displaystyle \bigvee_a^x (f)}
是
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的遞增函數。
設
f
∈
B
V
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle f \in BV([a, b])}
,那麼
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上幾乎處處可微,且
d
d
x
⋁
a
x
(
f
)
=
|
f
′
(
x
)
|
,
a.e.
x
∈
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigvee_a^x (f) = |f'(x)|, \quad \text{a.e. } x \in [a, b].}
假設同上,如果
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
x
0
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x_0 \in [a, b]}
連續,那麼
⋁
a
x
(
f
)
{\displaystyle \bigvee_a^x (f)}
也在
x
0
{\displaystyle x_0}
處連續。
基本性質 [ ]
有界單調函數是有界變差的。
同一區間上的有界變差函數的和與差依然是有界變差的。
有界變差函數一定是有界的。
設
a
<
c
<
b
{\displaystyle a < c < b}
,則有
⋁
a
b
(
f
)
=
⋁
a
c
(
f
)
+
⋁
c
b
(
f
)
.
{\displaystyle \bigvee_a^b (f) = \bigvee_a^c (f) + \bigvee_c^b (f).}
⋁
a
b
(
f
)
=
0
{\displaystyle \bigvee_a^b (f) = 0}
當且僅當
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
為
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的常值函數。
設
f
∈
B
V
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle f \in BV([a, b])}
,那麼
|
f
|
∈
B
V
(
[
a
,
b
]
)
.
{\displaystyle |f| \in BV([a, b]).}
設
f
,
g
∈
B
V
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle f, g \in BV([a, b])}
,那麼
max
{
f
,
g
}
,
min
{
f
,
g
}
∈
B
V
(
[
a
,
b
]
)
.
{\displaystyle \max\{ f, g\}, \min\{f, g\}\in BV([a, b]).}
設
f
(
x
)
∈
B
V
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle f(x) \in BV([a, b])}
,
φ
(
x
)
{\displaystyle \varphi(x)}
在
R
{\displaystyle \R}
上是 Lipschitz 連續 的,那麼
φ
(
f
(
x
)
)
∈
B
V
(
[
a
,
b
]
)
.
{\displaystyle \varphi(f(x)) \in BV([a, b]).}
設
f
n
(
x
)
∈
B
V
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle f_n(x) \in BV([a, b])}
,級數
∑
n
=
1
∞
f
n
(
x
)
,
∑
n
=
1
∞
⋁
a
x
(
f
n
)
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_n(x), \sum_{n=1}^\infty \bigvee_a^x (f_n)}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上收斂,那麼
∑
n
=
1
∞
f
n
(
x
)
∈
B
V
(
[
a
,
b
]
)
.
{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_n(x) \in BV([a, b]).}
有界變差函數列的極限函數若存在,則其為有界變差函數。
測度情形 [ ]
測度的有界變差性質可以通過 Jordan 分解來給出。關於符號測度著名的 Hahn-Jordan 分解 定理指出:給定可測空間
(
X
,
F
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F})}
上的符號測度
φ
{\displaystyle \varphi}
,首先我們定義如下非負單調規範的集函數
φ
∗
(
A
)
:=
sup
{
φ
(
B
)
:
B
⊂
A
,
B
∈
F
}
.
{\displaystyle \varphi^*(A) := \sup \{ \varphi(B): B \subset A, B \in \mathcal{F} \}.}
那麼存在測度
φ
+
{\displaystyle \varphi^+}
和有限測度
φ
−
{\displaystyle \varphi^-}
使得
φ
=
φ
+
−
φ
−
.
{\displaystyle \varphi = \varphi^+ - \varphi^-.}
且
φ
+
=
φ
∗
,
φ
−
=
(
−
φ
)
∗
.
{\displaystyle \varphi^+ = \varphi^*, \varphi^- = (-\varphi)^*.}
上述分解稱為
φ
{\displaystyle \varphi}
的 Jordan 分解,這種分解是唯一的。測度
φ
+
,
φ
−
{\displaystyle \varphi^+, \varphi^-}
分別稱為
φ
{\displaystyle \varphi}
的上變差和下變差,而
|
φ
|
:=
φ
+
+
φ
−
{\displaystyle |\varphi| := \varphi^+ + \varphi^-}
稱為全變差,它們都是測度。如果
|
φ
|
{\displaystyle |\varphi|}
是有限的,我們就稱
φ
{\displaystyle \varphi}
是有界變差測度。
函數空間 [ ]
有界變差函數可以在一定意義下構成賦范線性空間 ,我們以一維的有界變差函數為例說明:
假設
B
V
[
a
,
b
]
{\displaystyle BV[a, b]}
是區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的實值或復值有界變差函數全體構成的空間,線性運算按照通常函數加法和數乘進行,這是一個線性空間,然而注意一個區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的有界變差函數
f
{\displaystyle f}
在其跳躍間斷點 (若有)上可以任意改變其值,要避免這樣的情況所帶來的麻煩(要讓下面定義的範數滿足其定義的正定性質),我們可以把有界變差函數規範化為左連續函數,令
f
¯
(
x
)
=
f
(
x
−
)
=
lim
y
→
x
−
f
(
y
)
,
∀
x
∈
[
a
,
b
]
.
{\displaystyle {\overline {f}}(x)=f(x^{-})=\lim _{y\to x^{-}}f(y),\quad \forall x\in [a,b].}
這樣定義其上的範數
‖
f
‖
B
V
=
|
f
(
a
)
|
+
⋁
a
b
(
f
)
.
{\displaystyle \|f\|_{BV}=|f(a)|+\bigvee _{a}^{b}(f).}
可以驗證它確實是範數,因此
B
V
[
a
,
b
]
{\displaystyle BV[a, b]}
是
賦范線性空間 ,同時可以證明它還是
Banach 空間 。
它的一個子空間
B
V
0
[
a
,
b
]
:=
{
f
:
f
(
a
)
=
0
}
{\displaystyle BV_{0}[a,b]:=\{f:f(a)=0\}}
或記作
N
B
V
[
a
,
b
]
{\displaystyle NBV[a,b]}
的範數就是全變差。這個空間和全體完全可加的 Borel 可測集函數(即 Borel 符號測度)構成的空間
M
[
a
,
b
]
{\displaystyle {\mathcal {M}}[a,b]}
是等距同構的,因此空間
B
V
0
[
a
,
b
]
{\displaystyle BV_0[a, b]}
是連續函數空間
C
[
a
,
b
]
{\displaystyle C[a, b]}
的對偶空間 。這個思想十分重要,它為我們將有界變差函數推廣到多元函數的情形中去提供了一種定義推廣的方法。
N
B
V
[
a
,
b
]
{\displaystyle NBV[a,b]}
和
M
[
a
,
b
]
{\displaystyle {\mathcal {M}}[a,b]}
等距同構。
關於這個定理/命題的證明,單擊這裏以顯示/摺疊
給定一個完全可加的 Borel 可測集函數
μ
{\displaystyle \mu}
,定義
f
(
x
)
=
μ
(
(
a
,
x
)
)
{\displaystyle f(x)=\mu ((a,x))}
,這樣
u
{\displaystyle u}
是規範的左連續的有界變差函數。
f
(
a
+
)
=
μ
(
∅
)
=
0.
{\displaystyle f(a^{+})=\mu (\varnothing )=0.}
左連續性質:由 Heine 定理 ,對任意
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
中單調遞增趨近於
x
{\displaystyle x}
的數列
{
x
n
}
{\displaystyle \{ x_n \}}
而言,我們需要說明
f
(
x
−
)
=
lim
x
n
→
∞
f
(
x
n
)
=
f
(
x
)
.
{\displaystyle f(x^{-})=\lim _{x_{n}\to \infty }f(x_{n})=f(x).}
即
μ
(
(
a
,
x
)
)
=
lim
x
n
→
∞
μ
(
(
a
,
x
n
)
)
{\displaystyle \mu ((a,x))=\lim _{x_{n}\to \infty }\mu ((a,x_{n}))}
,這是測度的下連續性 。
有界變差性質:由 Hahn-Jordan 分解 可知存在測度
μ
+
,
μ
−
{\displaystyle \mu ^{+},\mu ^{-}}
使得
μ
=
μ
+
−
μ
−
{\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}
,我們說明
μ
+
,
μ
−
{\displaystyle \mu ^{+},\mu ^{-}}
都是單調遞增的進而由#Jordan 分解定理 得到結果,不妨考察
μ
+
{\displaystyle \mu^+}
,由測度的飛赴性質立即得到
f
1
:=
μ
+
(
(
a
,
x
)
)
{\displaystyle f_{1}:=\mu ^{+}((a,x))}
是單調遞增的,進而
f
=
f
1
−
f
2
{\displaystyle f=f_{1}-f_{2}}
是有界變差的。
考察上述映射的逆:對於規範的左連續的有界變差函數
f
{\displaystyle f}
,
先考察單調遞增的函數
f
{\displaystyle f}
,定義
μ
(
(
a
,
x
)
)
:=
f
(
x
)
,
μ
(
[
x
,
y
)
)
:=
μ
(
(
a
,
y
)
)
−
μ
(
(
a
,
x
)
)
=
f
(
y
)
−
f
(
x
)
.
{\displaystyle \mu ((a,x)):=f(x),\quad \mu ([x,y)):=\mu ((a,y))-\mu ((a,x))=f(y)-f(x).}
由於
{
[
x
,
y
)
}
x
,
y
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle \{[x,y)\}_{x,y\in [a,b]}}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
中生成了全體 Borel 集,於是上述定義的
μ
{\displaystyle \mu}
就決定了
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的一個 Borel 集函數,下面我們說明它是測度。
μ
(
∅
)
=
μ
(
(
a
,
a
)
)
=
0.
{\displaystyle \mu (\varnothing )=\mu ((a,a))=0.}
非負性有單調遞增性質得到。
可列可加性:由於
μ
(
{
x
}
)
=
f
(
x
+
)
−
f
(
x
)
{\displaystyle \mu (\{x\})=f(x^{+})-f(x)}
,進而對任意 Borel 集
E
⊂
[
a
,
b
]
{\displaystyle E\subset [a,b]}
成立
μ
(
E
)
=
L
1
(
⋃
x
∈
E
[
f
(
x
)
,
f
(
x
+
)
]
)
.
{\displaystyle \mu (E)={\mathcal {L}}^{1}\left(\bigcup _{x\in E}[f(x),f(x^{+})]\right).}
對一般的規範的左連續有界變差函數
f
{\displaystyle f}
,由#Jordan 分解定理 可知存在
f
1
,
f
2
{\displaystyle f_1, f_2}
單調遞增,規範,左連續且是有界變差的,這樣應用剛才的結果得到兩個測度
μ
1
,
μ
2
{\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}
,於是
μ
=
μ
1
−
μ
2
{\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}
是符號測度。
映射
f
↦
μ
{\displaystyle f\mapsto \mu }
的等距性質取決於
M
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}([a,b])}
上定義的如下和全變差等價的範數:
‖
μ
‖
=
|
μ
|
(
[
a
,
b
]
)
=
sup
{
∑
i
=
1
∞
|
μ
(
E
i
)
|
:
E
i
is Borel subset of
[
a
,
b
]
,
B
i
∩
E
j
=
∅
,
i
≠
j
,
E
=
⋃
i
=
1
n
E
i
}
.
{\displaystyle \|\mu \|=|\mu |([a,b])=\sup \left\{\sum _{i=1}^{\infty }|\mu (E_{i})|:E_{i}{\text{ is Borel subset of }}[a,b],B_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,i\neq j,E=\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}\right\}.}
這裏
|
μ
|
{\displaystyle |\mu|}
是
μ
{\displaystyle \mu}
的全變差,這個範數的等價刻畫參見變差#複測度情形 。
下面我們將指出上述對應於
f
∈
B
V
0
[
a
,
b
]
{\displaystyle f\in BV_{0}[a,b]}
的
μ
{\displaystyle \mu}
實際上就是
f
{\displaystyle f}
的廣義導數。
假設
f
∈
B
V
0
[
a
,
b
]
{\displaystyle f\in BV_{0}[a,b]}
,那麼上述同構的
μ
{\displaystyle \mu}
是
f
{\displaystyle f}
(作為一個
L
1
[
a
,
b
]
{\displaystyle L^1[a, b]}
上的函數)的
廣義導數
D
f
{\displaystyle D f}
:
⟨
D
f
,
φ
⟩
=
−
∫
a
b
f
φ
′
d
x
,
∀
φ
∈
C
c
∞
(
[
a
,
b
]
)
.
{\displaystyle \langle Df,\varphi \rangle =-\int _{a}^{b}f\varphi '\mathrm {d} x,\quad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }([a,b]).}
關於這個定理/命題的證明,單擊這裏以顯示/摺疊
由 Lebesgue 分解 存在
μ
1
,
μ
2
,
μ
3
{\displaystyle \mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}}
使得
μ
=
μ
1
+
μ
2
+
μ
3
.
{\displaystyle \mu =\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3}.}
μ
1
{\displaystyle \mu_1 }
對
L
1
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}
絕對連續。
μ
2
{\displaystyle \mu_2 }
是純原子測度,進而由此決定的函數
f
2
{\displaystyle f_2}
是單調遞增的分段常值函數。
μ
3
{\displaystyle \mu_3}
對
L
1
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{1}}
奇異,且對任意
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x \in [a, b]}
成立
μ
3
(
{
x
}
)
=
0
{\displaystyle \mu _{3}(\{x\})=0}
,這也就是說
μ
3
{\displaystyle \mu_3}
是連續的非常值的有界變差函數,同時具有幾乎處處為零的弱導數。
由於
M
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}([a,b])}
是
C
c
(
R
n
)
{\displaystyle C_c(\R^n)}
的共軛空間 ,由共軛算子的範數的定義有
‖
μ
‖
=
sup
{
∫
a
b
φ
d
μ
:
‖
φ
‖
∞
⩽
1
}
.
{\displaystyle \|\mu \|=\sup \left\{\int _{a}^{b}\varphi \mathrm {d} \mu :\|\varphi \|_{\infty }\leqslant 1\right\}.}
注意到
μ
{\displaystyle \mu}
和
d
f
{\displaystyle \mathrm{d}f}
決定了同一個測度,這就是說
⟨
μ
,
φ
⟩
=
∫
a
b
φ
(
x
)
d
f
(
x
)
=
−
∫
a
b
u
φ
′
d
x
.
{\displaystyle \langle \mu ,\varphi \rangle =\int _{a}^{b}\varphi (x)\mathrm {d} f(x)=-\int _{a}^{b}u\varphi '\mathrm {d} x.}
於是
D
f
=
μ
.
{\displaystyle Df=\mu .}
上面這個定理可以引導我們在
R
n
{\displaystyle \R^n}
中定義有界變差函數,參見/多元函數 。
參考資料 周民強, 《實變函數論(第三版)》, 北京大學出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1
. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.) , Studies in Advanced Mathematics Vol.5 , CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8
. 張恭慶, 《變分學講義》, 高等教育出版社, 北京, 2011-06, ISBN 978-7-0403-1958-3
.