有界变差函数/多元函数

我们在有界变差函数中讨论了一元的有界变差函数，它是通过对区间分划定义的变差有限性质来刻画的，且将其规范为左连续函数之后构成的赋范线性空间$NBV[a,b]$和 Borel 符号测度空间是等距同构的。由于在多元函数的情形下我们没有左右极限点的概念，不容易表述规范化行为，这里我们采用测度空间对应的同构来推广一元有界变差函数的结果。

定义

假设$U$是$\R^n$中的开集，Lebesuge 可积的函数$f: U \to \R$被称为是有界变差的，是指如下定义的量 $$\sup \left\{\int _{U}f{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x:\varphi \in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}),\|\varphi \|_{\infty }\leqslant 1\right\}<+\infty ,$$ 我们把这个量称为$f$的全变差（total variation），记作$\|Df\|(U)$。同样可以定义局部有界变差的概念：假设$U$是$\R^n$中的开集，Lebesuge 可积的函数$f: U \to \R$被称为是局部有界变差的，是指对任意紧包含于$U$的开集$V$如下定义的量 $$\sup \left\{\int _{U}f{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x:\varphi \in C_{c}^{1}(V,\mathbb {R} ^{n}),\|\varphi \|_{\infty }\leqslant 1\right\}<+\infty .$$

$U$上有界变差函数和局部有界变差函数的全体分别记作$BV(U)$以及$BV_{\textsf {loc}}(U).$可以证明$\|f\|_{BV}:=\|f\|_{L^{1}(U)}+\|Df\|(U)$提供了$BV(U)$上的一个范数，因此$BV(U)$可以看作是一个赋范线性空间。

结构定理

下面我们来证明上述定义和一元情形下的有界变差函数一样，有到某测度空间的保距映射。

假设$f$是开集$U \subset \R^n$上的局部有界变差函数，那么存在$U$上的一个符号 Radon 测度$\mu$以及$\mu {\text{-}}$可测的函数$\sigma :U\to \mathbb {R} ^{n}$满足

1. $|\sigma (x)|=1,\quad \mu {\text{-a.e.}}x\in U.$
2. $\int _{U}f{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x=-\int _{U}\varphi \cdot \sigma ~\mathrm {d} \mu ,\quad \forall \varphi \in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}).$

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证明的关键是验证线性泛函$L(\varphi )=-\int _{U}f{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x$的如下的有界性：对任意紧集$K \subset U$成立

$$\sup\{L(\varphi ):\varphi \in C_{c}(U,\mathbb {R} ^{n}),\|\varphi \|_{\infty }\leqslant 1,{\text{supp}}(\varphi )\subset K\}<+\infty ,$$ 从而由 Riesz 表示定理得到结论。

首先我们得到$L$的局部有界性：由$f$的局部有界变差函性质，对任意紧包含于$U$的开集$V$而言， $$\inf\{L(\varphi ):\varphi \in C_{c}^{1}(V,\mathbb {R} ^{n}),\|\varphi \|_{\infty }\leqslant 1\}>-\infty .$$ 这表明$L$在子空间的一个单位闭球上有下界，进而在这个子空间上成立 $$|L(\varphi )|\leqslant C_{V}\|\varphi \|_{\infty }.$$ 下面对任意紧集$K \subset U$，选择包含$K$的紧包含于$U$的开集$V$，对固定的$\varphi \in C_{c}(U,\mathbb {R} ^{n})$且${\text{sup}}(\varphi )\subset K$，存在一列$\{\varphi _{k}\}_{k}\subset C_{c}^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})$使得$\{\varphi_k\}$按最大模范数收敛（即一致收敛）于$\varphi$，这样定义${\overline {L}}(\varphi )=\lim _{k\to \infty }L(\varphi _{k}).$由$L$在$C_{c}^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})$上的连续性得到上述极限存在，由稠密性得到上述极限唯一，即不依赖于序列$\{\varphi_k\}$的选取，实际上如果假设$\{\psi _{k}\}_{k}\subset C_{c}^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})$是另外一个以$\varphi$为一致极限的序列，我们有 $${\begin{aligned}\left|\lim _{k\to \infty }L(\varphi _{k})-\lim _{k\to \infty }L(\psi _{k})\right|&=\lim _{k\to \infty }\left|L(\varphi _{k})-L(\psi _{k})\right|\\&\leqslant \lim _{k\to \infty }\left|L(\varphi _{k}-\psi _{k})\right|\to 0.\end{aligned}}$$这样的延拓还是唯一的，证明仿照稠密子集上的唯一延拓定理6证明的第四步。

于是${\overline {L}}:C_{c}(U,\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R}$满足#C1。

我们把上面的$\mu$记作$\|Df\|$，称为$f$的变差测度，同时我们记$[Df]$如下定义$$\mathrm {d} [Df]=\sigma \mathrm {d} \|Df\|.$$

如果$f$的广义导数记作$F$，那么 $$\langle F,\varphi \rangle =-\int _{U}f{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x,\quad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(U).$$ 这就表明$[Df]$就是$f$的广义导数。根据 Lebesgue 分解定理，存在$[Df]_{\text{ac}}$以及$[Df]_{\text{s}}$使得

1. $[Df]=[Df]_{\text{ac}}+[Df]_{\text{s}}$。
2. $[Df]_{\text{ac}}$对$\mathcal{L}^n$绝对连续。
3. $[Df]_{\text{s}}$对$\mathcal{L}^n$奇异。

假设$\sigma =(\sigma ^{1},\sigma ^{2},\cdots ,\sigma ^{n})$，令$\mathrm {d} \mu ^{i}=\sigma ^{i}\mathrm {d} \|Df\|.$同样关于$\mathcal{L}^n$分解出$\mu _{\text{ac}}^{i}+\mu _{\text{s}}^{i}$，定义广义偏导数 $$D_{x_{i}}f={\dfrac {\mathrm {d} \mu _{\text{ac}}^{i}}{\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}}}$$ 以及$Df=(D_{x_{1}}f,D_{x_{2}}f,\cdots ,D_{x_{n}}f).$于是$$Df={\dfrac {\mathrm {d} [Df]_{\text{ac}}}{\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}}}=\left({\dfrac {\mathrm {d} \mu _{\text{ac}}^{1}}{\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}}},{\dfrac {\mathrm {d} \mu _{\text{ac}}^{2}}{\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}}},\cdots ,{\dfrac {\mathrm {d} \mu _{\text{ac}}^{n}}{\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}}}\right).$$

Sobolev 函数

对于开集$U \subset \R^n$而言，$W_{\textsf {loc}}^{1,1}(U)\subsetneq BV_{\textsf {loc}}(U),W^{1,1}(U)\subsetneq BV(U).$

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假设$f\in W_{\textsf {loc}}^{1,1}(U)$，$D f$记其弱导数向量，那么对任意紧支在紧包含于$U$的开集$V$上的函数值的最大模不超过1的可微函数$\varphi$成立 $$\left|\int _{V}f{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x\right|=\left|\int _{V}Df\cdot \varphi ~\mathrm {d} x\right|\leqslant \int _{V}|Df|\mathrm {d} x<+\infty .$$ 这就表明$f\in BV_{\textsf {loc}}(U).$进一步，如果$f\in W^{1,1}(U)$，那么一方面 $$\left|\int _{U}f{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x\right|=\left|\int _{U}Df\cdot \varphi ~\mathrm {d} x\right|\leqslant \int _{U}|Df|\mathrm {d} x=\|Df\|_{L^{1}(U)}<+\infty .$$ 另一方面对任意的$\varepsilon > 0$存在$\varphi _{\varepsilon }\in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n})$满足$\|\varphi _{\varepsilon }\|_{\infty }\leqslant 1$以及 $$\int _{U}|Df|\mathrm {d} x\leqslant \int _{U}Df\cdot \varphi _{\varepsilon }\mathrm {d} x+\varepsilon \leqslant \left|\int _{U}f{\text{div }}\varphi _{\varepsilon }~\mathrm {d} x\right|+\varepsilon \leqslant \|Df\|(U)+\varepsilon .$$ 于是$\|f\|_{W^{1,1}(U)}=\|f\|_{BV}.$

关于不包含的例子，详见下个命题。

下面这个命题给出了不是（局部）Sobolev 函数的（局部）有界变差函数，局部上理解就是$\R^n$中的$n-1$维紧致超曲面的特征函数：

假设$E$是$\R^n$中的有界正测开集，它的边界$\partial E$是光滑的且${\mathcal {H}}^{n-1}(\partial E)<+\infty$，那么$\chi _{E}\in BV(\mathbb {R} ^{n})\setminus W^{1,1}(\mathbb {R} ^{n})$且 $$\|D\chi _{E}\|(\mathbb {R} ^{n})={\mathcal {H}}^{n-1}(\partial E).$$

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一方面对任意$\varphi \in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n})$，$\|\varphi \|_{\infty }\leqslant 1$，由 Gauss 公式成立 $$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{E}{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x=\int _{E}{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x=\int _{\partial E}n(x)\cdot \varphi (x)~\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n-1}(x).$$ 其中$n(x)$是$x\in \partial E$处边界的单位外法向量。于是 $$\left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{E}{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x\right|\leqslant \int _{\partial E}|n(x)||\varphi (x)|~\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n-1}(x)\leqslant {\mathcal {H}}^{n-1}(\partial E).$$ 另一方面，由单位分解定理可知$n(x)$定义域可以延拓到$\R^n$上记作$V(x)$且连续可微，且$\|V\|_{\infty }\leqslant 1$，这样对任意$\rho \in C_{c}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )$满足$\|\rho \|_{\infty }\leqslant 1$成立 $${\begin{aligned}\|D\chi _{E}\|(\mathbb {R} ^{n})&=\sup \left\{\int _{E}{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x:\varphi \in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}),\|\varphi \|_{\infty }\leqslant 1\right\}\\&\geqslant \sup \left\{\int _{E}{\text{div}}(\rho V)~\mathrm {d} x:\rho \in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ),\|\rho \|_{\infty }\leqslant 1\right\}\\&\geqslant \sup \left\{\int _{\partial E}\rho \mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n-1}:\rho \in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ),\|\rho \|_{\infty }\leqslant 1\right\}\\&={\mathcal {H}}^{n-1}(\partial E).\end{aligned}}$$ 其中大于等于号是因为$\rho V$都是符合条件的$\varphi$，但是反过来未必。

最后，正测集上的特征函数自然不是弱可微的，利用 Sobolev 函数的等价刻画因为选择闭球$B(x_{0},r)\subset E$，用经过这个球的任意$\R^n$中的一维线性子流形去截取$E$，得到的一元函数都是跳跃的，不是绝对连续的，这就表明不存在几乎处处的截取方式使得截到的一元函数绝对连续。

基本性质

下半连续性

假设$\{ f_k \}$是开集$U \subset \R^n$上的有界变差函数，且$\{ f_k \}$在$L_{\textsf {loc}}^{1}(U)$中收敛到$f$，那么 $$\|Df\|(U)\leqslant \liminf _{k\to \infty }\|Df_{k}\|(U).$$

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对任意$\varphi \in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n})$且$\|\varphi \|_{\infty }\leqslant 1$，那么由控制收敛定理 $${\begin{aligned}\int _{U}f{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x&=\int _{{\text{supp}}(\varphi )}f{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x\\&=\lim _{k\to \infty }\int _{{\text{supp}}(\varphi )}f_{k}{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x\\&=\lim _{k\to \infty }\int _{U}f_{k}{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x\\&=-\lim _{k\to \infty }\int _{U}\varphi \cdot \sigma _{k}~\mathrm {d} \|Df_{k}\|\\&\leqslant \liminf _{k\to \infty }\int _{U}|\varphi |~\|\sigma _{k}\|_{\infty }~\mathrm {d} \|Df_{k}\|\\&\leqslant \liminf _{k\to \infty }\|Df_{k}\|(U)\\\end{aligned}}$$ 对所有符合条件的$\varphi$取上确界即得到结论。

完备性

给定开集$U \subset \R^n$，赋范线性空间$BV(U)$完备。

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任取$BV(U)$中的 Cauchy 列$\{ f_k \}$，我们要证明它是收敛的，实际上由于$BV(U)\subset L^{1}(U)$，$\{ f_k \}$在$L^1(U)$中收敛到$f$，下面我们对$\{f_{k}-f_{j}\}_{j}$用下半连续性 $$\|D(f_{k}-f)\|(U)\leqslant \lim _{j\to \infty }\|D(f_{k}-f_{j})\|(U).$$ 由于$\{ f_k \}$是$BV(U)$上的 Cauchy 列，上述极限趋近于零，这就表明$\{ f_k \}$在$BV(U)$上收敛到$f.$

逼近定理

假设$f$是开集$U \subset \R^n$上的有界变差函数，那么存在$\{f_{k}\}\subset BV(U)\cap C^{\infty }(U)$满足

1. $\{ f_k \}$在$L^1(U)$中收敛到$f.$
2. $\|Df_{k}\|$在 Radon 测度意义下收敛于$\|Df\|$，特别地，$\|Df_{k}\|(U)\to \|Df\|(U).$

注意我们不能得到$\|D(f_{k}-f)\|(U)\to 0$，实际上$W^{1,1}(U)$或更确切的，它的稠密子集$W^{1,1}(U)\cap C^{\infty }(U)$中所有函数的弱导数所决定的测度$[Df]$都是关于$\mathcal{L}^n$绝对连续的，这样如果一个$f\in BV(U)$拥有和$\mathcal{L}^n$相互奇异的部分（即上面定义的$[Df]_{\text{s}}\neq 0$），那么它是不能被任意光滑函数逼近的。这就说明$BV(U)$上的范数拓扑还是十分强的，$W^{1,1}(U)$并不在其中稠密。实际上由于$W^{1,1}(U)$关于其上的范数已经是完备的了，而$BV(U)$上的范数限制在$W^{1,1}(U)$上和$W^{1,1}(U)$本身的范数一致，这就说明$W^{1,1}(U)$不可能是$BV(U)$的稠密子空间。

紧性

假设$U \subset \R^n$是有界开集，且边界$\partial U$是 Lipschitz 连续的，如果函数列$\{f_{k}\}\subset BV(U)$满足一致有界的条件：$$\sup _{k}\|f_{k}\|_{BV}=M<+\infty ,$$那么存在子列$\{ f_{k_j} \}$以及函数$f\in BV(U)$使得$\{ f_{k_j} \}$在$L^1(U)$中收敛到$f$，且$\|f\|_{BV}<M.$

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由逼近性质，存在$\{g_{k}\}\subset BV(U)\cap C^{\infty }(U)$满足

1. $\|f_{k}-g_{k}\|_{L^{1}(U)}<1/j.$
2. $\|f_{k}\|_{BV}\leqslant \|g_{k}\|_{BV}+1/j.$

对$\{g_k\}$而言，它是$W^{1,1}(U)$的，用上面#Sobolev 函数的结果，$\|g_{k}\|_{W^{1,1}(U)}=\|g_{k}\|_{BV}$，由 Rellich-Kondrachov 定理可知存在子列$\{g_{k_{j}}\}_{j}$满足在$W^{1,1}(U)$中有$g_{k_{j}}\to f$，再用#下半连续性，得到 $$\|Du\|(U)\leqslant \liminf _{j\to \infty }\|Dg_{k_{j}}\|(U)\leqslant \liminf _{j\to \infty }\|Df_{k_{j}}\|(U)<M.$$

迹定理

假设$U \subset \R^n$是具有 Lipschitz 连续边界的有界开集，那么存在一个连续线性泛函 $$T:BV(U)\to L^{1}(\partial U,{\mathcal {H}}^{n-1})$$ 使得对任意$f\in BV(U)$以及$\varphi \in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n})$满足 $$\int _{U}f{\text{div }}\varphi ~\mathrm {d} x=-\int _{U}\varphi \mathrm {d} [Df]+\int _{\partial U}(\varphi \cdot \nu )Tf\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n-1}.$$ 其中$\nu$是$\partial U$上的单位外法向量，它几乎处处存在。

我们称这里的算子$T$是$U$上的迹算子（trace operator），$Tf$被称为$f$在$\partial U$上的迹（trace），它在${\mathcal {H}}^{n-1}|_{\partial U}$下是几乎处处确定的，对于$W^{1,1}(U)$函数而言，$T$的定义和 Sobolev 函数的迹算子的定义相容。

证明参见Evans, Lawrence Craig and Gariepy, Ronald F, Measure theory and fine properties of functions (Revised Edition)[§5.3], Chapman and Hall/CRC, 2015, ISBN 978-1-4822-4238-6.

延拓定理

和 Sobolev 函数的延拓不同。任意开集$U \subset \R^n$上的有界变差函数总可以零延拓到全空间上去，这种零延拓是很平凡的操作（不像 Sobolev 函数那样需要考虑某种正则性以使弱导数存在），因此也被称为伪延拓（false extension）。

假设$U \subset \R^n$是具有 Lipschitz 连续边界的有界开集，$f_{1}\in BV(U),f_{2}\in BV(\mathbb {R} ^{n}\setminus {\overline {U}})$，那么${\overline {f}}:=f_{1}\chi _{U}+f_{2}(1-\chi _{U})\in BV(\mathbb {R} ^{n})$且 $$\|D{\overline {f}}\|(\mathbb {R} ^{n})=\|Df_{1}\|(U)+\|Df_{2}\|(\mathbb {R} ^{n}\setminus {\overline {U}})+\int _{\partial U}|T(f_{1}-f_{2})|\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n-1}.$$ 证明参见Evans, Lawrence Craig and Gariepy, Ronald F, Measure theory and fine properties of functions (Revised Edition)[§5.4], Chapman and Hall/CRC, 2015, ISBN 978-1-4822-4238-6.

*弱收敛

这一小节我们将指出：$BV(U)$是某个可分空间的共轭空间，因此可以对其使用 Banach-Alaoglu 定理，在变分等分析学领域中有一定的应用（用以替代不知道是哪个空间的共轭空间的空间$W^{1,1}(U)$）。

令$X=C_{c}(U,\mathbb {R} ^{n+1})$，$Y={\overline {{\text{span}}E}},E=\{\varphi =(\varphi _{0},{\hat {\varphi }})\in C_{c}^{\infty }(U,\mathbb {R} ^{1+n}):\varphi _{0}={\text{div }}{\hat {\varphi }}\}$，那么$BV(U)\cong (X/Y)^{*}.$

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定义$${\begin{aligned}T:BV(U)&\to (X/Y)^{*}\subset {\mathcal {M}}(U,\mathbb {R} ^{n+1}),\\f&\mapsto (f{\mathcal {L}}^{n},D_{x_{1}}f,D_{x_{2}}f,\cdots ,D_{x_{n}}f)\end{aligned}}$$ 其中${\mathcal {M}}(U,\mathbb {R} ^{n+1})$是$U$上$\R^{n+1}$向量值的符号 Radon 测度空间，它的范数定义为 $$\|\mu \|_{\mathcal {M}}=\sup \left\{\int _{U}\varphi \mathrm {d} \mu :\|\varphi \|_{X}\leqslant 1\right\}.$$

1. $Tf\in (X/Y)^{*}$：实际上对任意$\varphi \in E$我们有$$\langle Tf,\varphi \rangle =\langle f{\mathcal {L}}^{n},\varphi _{0}\rangle +\langle Df,{\hat {\varphi }}\rangle =\langle f{\mathcal {L}}^{n},\varphi _{0}-{\text{div }}{\hat {\varphi }}\rangle =0.$$因此$Tf|_{Y}=0.$
2. $T$是到$(X/Y)^{*}$的满射：也就是说我们要证明，对任意$\mu =(\mu _{0},\mu _{1},\cdots ,\mu _{n})\in (X/Y)^{*}\subset {\mathcal {M}}(U,\mathbb {R} ^{1+n})$都存在$f\in BV(U)$使得$Tf=\mu$。由于$\mu$是商空间$X/Y$上的连续线性泛函，这就等价于对任意$\varphi \in E$都有$$\langle \mu ,\varphi \rangle =\langle \mu _{0},\varphi _{0}\rangle +\sum _{i=1}^{n}\langle \mu _{i},\varphi _{i}\rangle =0.$$首先对每个$i$在#D1式中令$\varphi _{0}=D_{i}\psi ,\varphi _{i}=\psi$其余分量为零我们就得到$$\langle \mu _{i},\psi \rangle =-\langle \mu _{0},D_{i}\psi \rangle ,\quad \forall \psi \in C_{c}^{1}(U),i=1,2,\cdots ,n.$$进而我们可以证明$\mu_0$对$\mathcal{L}^n$绝对连续，进而存在$f\in L^{1}$使得$f{\mathcal {L}}^{n}=\mu _{0}$（Radon-Nikodym 定理）。
3. $T$是连续同构：我们知道，给定$f\in BV(U)$有$$\|Tf\|_{\mathcal {M}}=\sup \left\{\int _{U}f\varphi _{0}+Df\cdot {\hat {\varphi }}\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}:\|\varphi \|_{X}\leqslant 1\right\}.$$
   1. 一方面，令${\hat {\varphi }}=0$就有$\|f\|_{L^{1}}\leqslant \|Tf\|_{\mathcal {M}}$；另一方面，令$\varphi=0$就得到$\|Df\|(U)\leqslant \|Tf\|_{\mathcal {M}}$。于是$\|f\|_{BV}\leqslant 2\|Tf\|_{\mathcal {M}}.$
   2. $\|Tf\|_{\mathcal {M}}\leqslant \|f\|_{BV}$，平凡。

证毕。

序列$\{ f_k \}$在$BV(U)$中*弱收敛到$f$的充分必要条件是$\{ f_k \}$在$BV(U)$中有界且$\{ f_k \}$在$L^1$中收敛到$f$。

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1. 必要性：$BV$有界性由 Banach-Steinhaus 定理得到。
2. 充分性：Banach-Alaoglu 定理告诉我们存在子列$\{ f_{k_j} \}$在$BV(U)$中收敛到$f$，下面我们只要证明$\{Df_{k}\}$所有可能的*弱极限点是$D f$即可，实际上，如果存在子列$\{Df_{k_{j'}}\}$使得$\mu$是这个子列的*弱极限，即对任意的$\varphi \in X/Y$都有$$\int _{U}f_{k_{j}'}{\text{div }}\varphi \mathrm {d} x=-\int _{U}Df_{k_{j'}}\varphi \mathrm {d} x.$$取极限，由广义导数的定义立即得到$\mu =Df.$

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.
2. 张恭庆, 《变分学讲义》, 高等教育出版社, 北京, 2011-06, ISBN 978-7-0403-1958-3.