有界变差函数

有界变差函数（function of finite variation, BV function）是一种借助描述函数震荡快慢的量而定义的函数。向量值测度的有界变差性在泛函分析中经常会用到，详见向量值测度#变差。

这个页面主要介绍一元函数的有界变差函数，多元函数的情形参见/多元函数。

概念

设$f(x)$定义在区间$[a, b]$上，做一个分划$\Delta: a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$，称以下数值

$$v_\Delta = \sum_{k=1}^n | f(x_k) - f(x_{k-1}) |$$

为函数$f(x)$在$[a, b]$上的变差，而

$$\bigvee_a^b (f) := \sup v_\Delta.$$

称为$f(x)$在$[a, b]$上的全变差，即取所有变差的上确界。如果

$$\bigvee_a^b (f) < + \infty,$$

我们就说$f(x)$是$[a, b]$上的有界变差函数。$[a, b]$所有有界变差函数的全体记作$BV([a, b]).$

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1. $[a, b]$上的有界单调函数满足$\bigvee_a^b (f) = |f(b) - f(a)| < +\infty$是有界变差函数。
2. $[a, b]$上的可微函数也是有界变差函数。
3. 函数$f(x) = \begin{cases} x\sin\dfrac{1}{x}, & x \ne 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}$则不是任意包含原点的区间上的有界变差函数。

Jordan 分解定理

$f(x) \in BV([a, b])$当且仅当存在$[a, b]$上的递增实值函数$g(x), h(x)$使得$f(x) = g(x) - h(x).$实际上，

$$g(x)={\dfrac {1}{2}}\bigvee _{a}^{x}(f)+{\dfrac {1}{2}}f(x),\quad h(x)={\dfrac {1}{2}}\bigvee _{a}^{x}(f)-{\dfrac {1}{2}}f(x).$$

由上式定义的函数

$$\bigvee_a^x (f)$$

是$[a, b]$上的递增函数。

设$f \in BV([a, b])$，那么$f(x)$在$[a, b]$上几乎处处可微，且

$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \bigvee_a^x (f) = |f'(x)|, \quad \text{a.e. } x \in [a, b].$$

假设同上，如果$f(x)$在$x_0 \in [a, b]$连续，那么$\bigvee_a^x (f)$也在$x_0$处连续。

基本性质

1. 有界单调函数是有界变差的。
2. 同一区间上的有界变差函数的和与差依然是有界变差的。
3. 有界变差函数一定是有界的。
4. 设$a < c < b$，则有$\bigvee_a^b (f) = \bigvee_a^c (f) + \bigvee_c^b (f).$
5. $\bigvee_a^b (f) = 0$当且仅当$f(x)$为$[a, b]$上的常值函数。
6. 设$f \in BV([a, b])$，那么$|f| \in BV([a, b]).$
7. 设$f, g \in BV([a, b])$，那么$\max\{ f, g\}, \min\{f, g\}\in BV([a, b]).$
8. 设$f(x) \in BV([a, b])$，$\varphi(x)$在$\R$上是 Lipschitz 连续的，那么$\varphi(f(x)) \in BV([a, b]).$
9. 设$f_n(x) \in BV([a, b])$，级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(x), \sum_{n=1}^\infty \bigvee_a^x (f_n)$在$[a, b]$上收敛，那么$\sum_{n=1}^\infty f_n(x) \in BV([a, b]).$
10. 有界变差函数列的极限函数若存在，则其为有界变差函数。

测度情形

测度的有界变差性质可以通过 Jordan 分解来给出。关于符号测度著名的 Hahn-Jordan 分解定理指出：给定可测空间$(X, \mathcal{F})$上的符号测度$\varphi$，首先我们定义如下非负单调规范的集函数

$$\varphi^*(A) := \sup \{ \varphi(B): B \subset A, B \in \mathcal{F} \}.$$

那么存在测度$\varphi^+$和有限测度$\varphi^-$使得

$$\varphi = \varphi^+ - \varphi^-.$$

且$\varphi^+ = \varphi^*, \varphi^- = (-\varphi)^*.$ 上述分解称为$\varphi$的 Jordan 分解，这种分解是唯一的。测度$\varphi^+, \varphi^-$分别称为$\varphi$的上变差和下变差，而$|\varphi| := \varphi^+ + \varphi^-$称为全变差，它们都是测度。如果$|\varphi|$是有限的，我们就称$\varphi$是有界变差测度。

函数空间

有界变差函数可以在一定意义下构成赋范线性空间，我们以一维的有界变差函数为例说明：

假设$BV[a, b]$是区间$[a, b]$上的实值或复值有界变差函数全体构成的空间，线性运算按照通常函数加法和数乘进行，这是一个线性空间，然而注意一个区间$[a, b]$上的有界变差函数$f$在其跳跃间断点（若有）上可以任意改变其值，要避免这样的情况所带来的麻烦（要让下面定义的范数满足其定义的正定性质），我们可以把有界变差函数规范化为左连续函数，令

$${\overline {f}}(x)=f(x^{-})=\lim _{y\to x^{-}}f(y),\quad \forall x\in [a,b].$$

这样定义其上的范数

$$\|f\|_{BV}=|f(a)|+\bigvee _{a}^{b}(f).$$

可以验证它确实是范数，因此$BV[a, b]$是赋范线性空间，同时可以证明它还是 Banach 空间。

它的一个子空间$BV_{0}[a,b]:=\{f:f(a)=0\}$或记作$NBV[a,b]$的范数就是全变差。这个空间和全体完全可加的 Borel 可测集函数（即 Borel 符号测度）构成的空间${\mathcal {M}}[a,b]$是等距同构的，因此空间$BV_0[a, b]$是连续函数空间$C[a, b]$的对偶空间。这个思想十分重要，它为我们将有界变差函数推广到多元函数的情形中去提供了一种定义推广的方法。

$NBV[a,b]$和${\mathcal {M}}[a,b]$等距同构。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

1. 给定一个完全可加的 Borel 可测集函数$\mu$，定义$f(x)=\mu ((a,x))$，这样$u$是规范的左连续的有界变差函数。
   1. $f(a^{+})=\mu (\varnothing )=0.$
   2. 左连续性质：由 Heine 定理，对任意$[a, b]$中单调递增趋近于$x$的数列$\{ x_n \}$而言，我们需要说明$f(x^{-})=\lim _{x_{n}\to \infty }f(x_{n})=f(x).$即$\mu ((a,x))=\lim _{x_{n}\to \infty }\mu ((a,x_{n}))$，这是测度的下连续性。
   3. 有界变差性质：由 Hahn-Jordan 分解可知存在测度$\mu ^{+},\mu ^{-}$使得$\mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}$，我们说明$\mu ^{+},\mu ^{-}$都是单调递增的进而由#Jordan 分解定理得到结果，不妨考察$\mu^+$，由测度的飞赴性质立即得到$f_{1}:=\mu ^{+}((a,x))$是单调递增的，进而$f=f_{1}-f_{2}$是有界变差的。
2. 考察上述映射的逆：对于规范的左连续的有界变差函数$f$，
   1. 先考察单调递增的函数$f$，定义
      $$\mu ((a,x)):=f(x),\quad \mu ([x,y)):=\mu ((a,y))-\mu ((a,x))=f(y)-f(x).$$
      由于$\{[x,y)\}_{x,y\in [a,b]}$在$[a, b]$中生成了全体 Borel 集，于是上述定义的$\mu$就决定了$[a, b]$上的一个 Borel 集函数，下面我们说明它是测度。
      1. $\mu (\varnothing )=\mu ((a,a))=0.$
      2. 非负性有单调递增性质得到。
      3. 可列可加性：由于$\mu (\{x\})=f(x^{+})-f(x)$，进而对任意 Borel 集$E\subset [a,b]$成立
         $$\mu (E)={\mathcal {L}}^{1}\left(\bigcup _{x\in E}[f(x),f(x^{+})]\right).$$
   2. 对一般的规范的左连续有界变差函数$f$，由#Jordan 分解定理可知存在$f_1, f_2$单调递增，规范，左连续且是有界变差的，这样应用刚才的结果得到两个测度$\mu _{1},\mu _{2}$，于是$\mu =\mu _{1}-\mu _{2}$是符号测度。
3. 映射$f\mapsto \mu$的等距性质取决于${\mathcal {M}}([a,b])$上定义的如下和全变差等价的范数：
   $$\|\mu \|=|\mu |([a,b])=\sup \left\{\sum _{i=1}^{\infty }|\mu (E_{i})|:E_{i}{\text{ is Borel subset of }}[a,b],B_{i}\cap E_{j}=\varnothing ,i\neq j,E=\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}\right\}.$$
   这里$|\mu|$是$\mu$的全变差，这个范数的等价刻画参见变差#复测度情形。

下面我们将指出上述对应于$f\in BV_{0}[a,b]$的$\mu$实际上就是$f$的广义导数。

假设$f\in BV_{0}[a,b]$，那么上述同构的$\mu$是$f$（作为一个$L^1[a, b]$上的函数）的广义导数$D f$：

$$\langle Df,\varphi \rangle =-\int _{a}^{b}f\varphi '\mathrm {d} x,\quad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }([a,b]).$$

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由 Lebesgue 分解存在$\mu _{1},\mu _{2},\mu _{3}$使得

1. $\mu =\mu _{1}+\mu _{2}+\mu _{3}.$
2. $\mu_1$对${\mathcal {L}}^{1}$绝对连续。
3. $\mu_2$是纯原子测度，进而由此决定的函数$f_2$是单调递增的分段常值函数。
4. $\mu_3$对${\mathcal {L}}^{1}$奇异，且对任意$x \in [a, b]$成立$\mu _{3}(\{x\})=0$，这也就是说$\mu_3$是连续的非常值的有界变差函数，同时具有几乎处处为零的弱导数。

由于${\mathcal {M}}([a,b])$是$C_c(\R^n)$的共轭空间，由共轭算子的范数的定义有

$$\|\mu \|=\sup \left\{\int _{a}^{b}\varphi \mathrm {d} \mu :\|\varphi \|_{\infty }\leqslant 1\right\}.$$

注意到$\mu$和$\mathrm{d}f$决定了同一个测度，这就是说

$$\langle \mu ,\varphi \rangle =\int _{a}^{b}\varphi (x)\mathrm {d} f(x)=-\int _{a}^{b}u\varphi '\mathrm {d} x.$$

于是$Df=\mu .$

上面这个定理可以引导我们在$\R^n$中定义有界变差函数，参见/多元函数。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.
2. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.
3. 张恭庆, 《变分学讲义》, 高等教育出版社, 北京, 2011-06, ISBN 978-7-0403-1958-3.