有理数

数学上的有理数是实数的一种，它可以表示为分数形式，也可以写作有限小数或无限循环小数。

概念

有理数可以用分数形式来定义：设$p,q$是正数，且$q > 0$，并$(p, q) = 1$（即$p,q$互素），那么$\dfrac{p}{q}$就代表一个有理数。在上述约定下，一个非零有理数和一个数对$(p, q)$一一对应。

此外，有理数还可以使用小数来定义，规定所有有限小数和无限循环小数为有理数，无限不循环小数规定为无理数。

所有有理数构成的集合称为有理数集，记作$\mathbb{Q}$，整数集是有理数集的真子集。有理数集是可列集，它和自然数集等势，即$|\Q| = \aleph_0.$这仅需注意到如下事实

$$\Q^+ = \left\{ \begin{matrix} 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{4} & \dfrac{1}{5} & \cdots \\ 2 & 1\dfrac{1}{2} & 1\dfrac{1}{3} & 1\dfrac{2}{3} & 1\dfrac{1}{4} & 1\dfrac{3}{4} & 1\dfrac{1}{5} & \cdots \\ 3 & 2\dfrac{1}{2} & 2\dfrac{1}{3} & 2\dfrac{2}{3} & 2\dfrac{1}{4} & 2\dfrac{3}{4} & 2\dfrac{1}{5} & \cdots \\ \ddots \end{matrix} \right\}$$

按照对角线方法数出元素后再逐项插入负项元素和零即可。

有理数域

有理数集带上有理数间的加法和乘法构成一个有理数域，这是数集中最小的数域，有理数域上的元素间还具有全序关系，因此是一个有序域。

有理数域具有稠密性，即任意两个有理数之间还具有另外一个有理数，大小介于两者之间。

有理数域不具有完备性，即不保持极限性质：我们称各项均为有理数的数列为 Cauchy 列（柯西列），这些数列的极限不一定是有理数。

各进制表示下的有理数一一对应，这是有理数域的同构性体现。但是，有限小数可能经进制转换后变为循环小数，例如十进制数的$0.1$的二进制表示，反之情形亦可发生，如十进制的$\dfrac{1}{3}$在三进制下的表示。

可公度性

有理数域是可公度的，即有理数作为小数时，若为循环小数，其循环节有最小值，这个值称为最小循环周期。

这一点由数论中的 Euler-Fermat 定理保证，因此，任意一个与$10$互素的正数$n$都是$10^{\varphi(n)}-1$的因数，$\varphi(n)$是$\dfrac{1}{n}$的一个循环周期。因此$\dfrac{1}{n}$的最小循环周期就是$\varphi(n)$的因数。进一步，$\dfrac{1}{n}$的最小循环周期是$n$的一个关于$10$的原根。

分数乘一个整数，不会改变循环周期；整数加减分数，不会改变分数的周期。至于$n$有2或5的因子时，只需将$\dfrac{1}{n}$作加减分解裂项即可。

依照上述原理，可以知道两个有理数相加减，依然是可公度的。另外，无理数是不可公度的。