数学上的有理数是实数的一种,它可以表示为分数形式,也可以写作有限小数或无限循环小数。
概念[]
有理数可以用分数形式来定义:设是正数,且,并(即互素),那么就代表一个有理数。在上述约定下,一个非零有理数和一个数对一一对应。
此外,有理数还可以使用小数来定义,规定所有有限小数和无限循环小数为有理数,无限不循环小数规定为无理数。
所有有理数构成的集合称为有理数集,记作,整数集是有理数集的真子集。有理数集是可列集,它和自然数集等势,即这仅需注意到如下事实
按照对角线方法数出元素后再逐项插入负项元素和零即可。
有理数域[]
有理数集带上有理数间的加法和乘法构成一个有理数域,这是数集中最小的数域,有理数域上的元素间还具有全序关系,因此是一个有序域。
有理数域具有稠密性,即任意两个有理数之间还具有另外一个有理数,大小介于两者之间。
有理数域不具有完备性,即不保持极限性质:我们称各项均为有理数的数列为 Cauchy 列(柯西列),这些数列的极限不一定是有理数。
各进制表示下的有理数一一对应,这是有理数域的同构性体现。但是,有限小数可能经进制转换后变为循环小数,例如十进制数的的二进制表示,反之情形亦可发生,如十进制的在三进制下的表示。
可公度性[]
有理数域是可公度的,即有理数作为小数时,若为循环小数,其循环节有最小值,这个值称为最小循环周期。
这一点由数论中的 Euler-Fermat 定理保证,因此,任意一个与互素的正数都是的因数,是的一个循环周期。因此的最小循环周期就是的因数。进一步,的最小循环周期是的一个关于的原根。
分数乘一个整数,不会改变循环周期;整数加减分数,不会改变分数的周期。至于有2或5的因子时,只需将作加减分解裂项即可。
依照上述原理,可以知道两个有理数相加减,依然是可公度的。另外,无理数是不可公度的。