设
,则把
称为有理分式,下面我们讨论这种分式的积分。
唯一因式分解定理[]
唯一因式分解定理声称:所有在
上形如
的分时总能分解成以下几种简单式子的和:
- 多项式当分子次数不小于分母次数时,可分解出多项式;
- 若
有一个
重实根
,则分解后含有分式
- 若
有一个
重共轭复根
,则
含有因子
,其中
(
),则分解后含有分式
分析[]
有了以上定理,我们就可以把复杂的分式化为简单分式的积分之和来求解了。,为此,我们只需解决以下式子的积分:
- 多项式:
,很容易求出它的积分是
- 一次简单分式:
,很容易求出它的积分是
,很容易求出它的积分是
- 对于
,我们只需要了解它的计算方法,而结论则不是必须要记忆的:先将
化为二平方和的形式,为了后续计算,我们不妨假设
,于是
其主要用到换元积分法以及凑微分以及公式
。
- 对于
,我们遵循降次原则,即将分母的次数不断降低,实际上,由上一种情况的讨论,按照同样的换元方法,我们有
对于
,我们可以对它进行降次(需要使用分部积分法),最终有
常用模型[]
有关有理分式的常用模型如下:



其它方法[]
一般来说,部分分式分解耗时,而且使用待定系数法过程繁琐(但确实能处理所有的有理分式积分问题),对于一些特殊的分式,除了上述方法外还有一些技巧,例如诸下例:
由此进而可得
考虑如下有理分式:
,其中
有
个互异的实根
,那么

上下节[]
参考资料