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,则把称为有理分式,下面我们讨论这种分式的积分。

唯一因式分解定理[]

唯一因式分解定理声称:所有在上形如的分时总能分解成以下几种简单式子的和:

  1. 多项式当分子次数不小于分母次数时,可分解出多项式;
  2. 有一个重实根,则分解后含有分式
  3. 有一个重共轭复根,则含有因子,其中),则分解后含有分式

分析[]

有了以上定理,我们就可以把复杂的分式化为简单分式的积分之和来求解了。,为此,我们只需解决以下式子的积分:

  1. 多项式:,很容易求出它的积分是
  2. 一次简单分式:,很容易求出它的积分是
  3. ,很容易求出它的积分是
  4. 对于,我们只需要了解它的计算方法,而结论则不是必须要记忆的:先将化为二平方和的形式,为了后续计算,我们不妨假设,于是
    其主要用到换元积分法以及凑微分以及公式
  5. 对于,我们遵循降次原则,即将分母的次数不断降低,实际上,由上一种情况的讨论,按照同样的换元方法,我们有
    对于,我们可以对它进行降次(需要使用分部积分法),最终有

常用模型[]

有关有理分式的常用模型如下:

其它方法[]

一般来说,部分分式分解耗时,而且使用待定系数法过程繁琐(但确实能处理所有的有理分式积分问题),对于一些特殊的分式,除了上述方法外还有一些技巧,例如诸下例:

由此进而可得

考虑如下有理分式:,其中个互异的实根,那么

上下节[]

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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