最大模原理

最大模原理是有关复变函数论中解析函数或 Laplace 方程的调和函数的一个十分重要的定理。

解析函数

内容

设在区域$D$内解析的不恒为常数的函数$f(z)$，它的模长$|f(z)|$在$D$中的任何点都达不到最大值。

最大模原理说明了区域边界上的最大模可以限制区域内的函数值的模长。对于无界区域，最大模原理不一定成立。

最小模原理

设在区域$D$内解析的不恒为常数的函数$f(z)$，存在$z_0 \in D$使得$f(z_0) \ne 0$，则$|f(z_0)|$不可能是$|f(z)|$在$D$中的最小值。

设恒不为零的非常数函数$f(z)$在有界区域$D$内解析，边界$\partial D$上连续，若存在$m>0$，使得$\forall z \in D + \partial D, |f(z)| \geqslant m$，则$\forall z \in D, |f(z)| > m.$

多个解析函数模之和的最大模原理

假设$f_1, f_2, \cdots, f_n$是区域$D \subset \C$上的解析函数，如果 $$f(z) := \sum_{i=1}^n |f_i(z)|$$ 在$D$上有界，那么$f_i$都是常数。

调和函数

二元解析函数可以认为是二元调和函数，对于多元调和函数也有类似的最大模原理：

假设$u$在$U \subset \R^n$上调和，那么$u$在闭域上的$\overline{U}$最大值只能在边界上取到。证明如下：反证法。假设$u$在$U$的内点$x_0$上达到了极大值，那么根据极值的性质，在这一点处梯度为零且二阶导矩阵 Hesse 矩阵在$x_0$的一个邻域内是负定的，定义$u_\varepsilon (x) = u(x) + \varepsilon |x|^2, \varepsilon > 0$，那么直接计算得到$\Delta u_\varepsilon = \Delta u + 2n\varepsilon > 0$，这说明在$x_0$的某邻域内 Hesse 矩阵的迹大于零，与 Hesse 矩阵负定矛盾。

其他二阶方程（如 Poisson 方程、一般的二阶椭圆型方程或二阶抛物型方程）的解函数也有类似的性质，称之为极值原理，详见各主题页面。

上下节

• 上一节：解析函数的零点性质
• 下一节：解析函数的洛朗展式

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.), GTM Vol.19, American Mathematical Society, 2010-03, ISBN 978-0-8218-4974-3.

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.), GTM Vol.19, American Mathematical Society, 2010-03, ISBN 978-0-8218-4974-3.