最佳平方逼近

最佳平方逼近是用多项式逼近一个函数的方法，它选择的误差度量是赋范线性空间中的 L-2 范数，即平方积分。

概念

设$f$是内积空间$E$中的一个元素，$(,)$是$E$上的内积，$M$是$E$的一个子空间，那么对任意的$p \in M$使

$$e := \sqrt{(f-p, f-p)}$$

达到最小的$p$称作$f$在子空间$E$上的最佳平方逼近元素。

在离散型中，$(f, g)$是实向量空间（Euclid 空间）上的内积；在连续型中，$(f, g) = \int_I \rho(x) f(x) g(x) \mathrm{d}x$，其中函数$f(x), g(x)$定义在$I$上且连续。

上述逼近问题的逼近元素是存在且唯一的。

充要条件

假设同上，且设$M$的维数有限，那么$p$是$f$的最佳逼近元素当且仅当误差元$f - p$与$M$正交，即

$$(f - p, e_k) = 0, k = 1,2,\cdots,m$$

其中$\{ e_k \}_{k=1}^m$是$M$上的极大线性无关组，特别地，可以是基底甚至是正交基底。

此时逼近误差满足

$$e := \sqrt{(f-p, f-p)} = \sqrt{(f, f) - (f, p)}.$$

法方程组

假设同上，设元素$p$用基底$\{ e_k \}$线性表示为

$$p = \sum_{k=1}^m c_k e_k.$$

那么注意到充要条件，有

$$\left( f - \sum_{k=1}^m c_k e_k, e_j \right) = 0, \quad j = 1,2,\cdots,m.$$

于是展开内积，得到线性方程组

$$\sum _{k=1}^{m}(e_{k},e_{j})c_{k}=(f,e_{j}),\quad j=1,2,\cdots ,m.$$

它的系数矩阵就是 Gram 矩阵$G(e_1, e_2, \cdots, e_m).$方程组#A1被称为法方程组。

特别地，若$\{ e_k \}_{k=1}^m$是正交基底，那么容易得到 Gram 矩阵是对角矩阵，直接就得到逼近元素

$$p = \sum_{k=1}^m \dfrac{(f, e_k)}{(e_k, e_k)} e_k.$$

因此设法使用正交多项式去逼近一个函数空间中的函数$f(x)$会大大简化计算。

参考资料

1. 黄云清, 《数值计算方法》, 科学出版社, 北京, 2012-06, ISBN 978-7-0302-3428-5.