最佳平方逼近是用多项式逼近一个函数的方法,它选择的误差度量是赋范线性空间中的 L-2 范数,即平方积分。
概念[]
设是内积空间中的一个元素,是上的内积,是的一个子空间,那么对任意的使
达到最小的
称作
在子空间
上的最佳平方逼近元素。
在离散型中,是实向量空间(Euclid 空间)上的内积;在连续型中,,其中函数定义在上且连续。
上述逼近问题的逼近元素是存在且唯一的。
充要条件[]
假设同上,且设的维数有限,那么是的最佳逼近元素当且仅当误差元与正交,即
其中
是
上的
极大线性无关组,特别地,可以是基底甚至是正交基底。
此时逼近误差满足
法方程组[]
假设同上,设元素用基底线性表示为
那么注意到充要条件,有
于是展开内积,得到
线性方程组
它的系数矩阵就是
Gram 矩阵方程组
#A1被称为法方程组。
特别地,若是正交基底,那么容易得到 Gram 矩阵是对角矩阵,直接就得到逼近元素
因此设法使用
正交多项式去逼近一个函数空间中的函数
会大大简化计算。
参考资料