对一个函数进行逼近除了插值逼近外还有最佳逼近,最佳一致逼近问题是说,对于定义在区间上的连续函数,寻求一次数不超过的多项式,使得以下偏差
达到最小值。我们称此时的多项式是对于的最佳一致逼近多项式。
可以证明,这样的多项式一定是存在且唯一的。
Chebyshev 定理[]
我们给出这样的逼近多项式的一个充要条件,即 Chebyshev 定理:
是上述逼近问题的一个解当且仅当在上存在至少有个点组成的交错点组。
所谓交错点组,就是满足如下条件的点列
虽然该定理给出了充要条件,但确定最佳一致逼近多项式仍然是十分困难的,因此我们只能退而求其次,寻求近似的最佳一致逼近,其中一个有效的算法是 Remes 算法。
参考资料
- 黄云清, 《数值计算方法》, 科学出版社, 北京, 2012-06, ISBN
978-7-0302-3428-5
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函数逼近论(学科代码:1104140,GB/T 13745—2009) | |
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函数插值 | Lagrange 插值 ▪ Neville 插值 ▪ 差商和差分 ▪ Newton 插值 ▪ Hermite 插值 ▪ 分段三次多项式插值 |
函数逼近 | 最佳一致逼近 ▪ 最佳平方逼近 |
正交多项式 | Chebyshev 多项式和 Clenshaw 递推公式 ▪ Legendre 多项式 ▪ Laguerre 多项式 ▪ Hermite 多项式 |
数值积分 | Newton-Cotes 求积公式 ▪ Gauss 求积公式 ▪ 复化求积公式 ▪ Romberg 算法 ▪ 数值微分 |
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