向量组的替换定理揭示了不同向量组线性表出时的规律,它是向量组等价以及后续诸多问题的基础。
向量组的线性表出[]
设有上的两个向量组和,如果中的每一个向量都可以被线性表出,就称向量组可被向量组线性表出。
在上述条件下,如果还有:中的每一个向量都可以被线性表出,就称这两个向量组可以互相线性表出,也称这两个向量组等价。
替换定理[]
设有上的两个向量组和,如果向量组是线性无关组且它可被线性表出,则有且适当排序后向量组和等价。
如果两个线性无关向量组可以互相线性表出,那么它们的元数(向量组中向量的个数)必定相同,也就是说,等价的线性无关组有相同的元数。
极大线性无关组[]
设有向量组,它的一个部分组是线性无关组,且向量组中的任意元素都可以被这个部分组线性表出,那么就称这个部分组是该向量组的一个极大线性无关组。
在向量组的所有极大线性无关组中,元数最多的部分组叫做原向量组的最大线性无关组。
可以证明,极大线性无关组的选取虽然不定,但是它们之间都是可以互相线性表出的,因此它们的元数是相同的,这个数叫做原向量组的秩(rank),记作或自然,极大线性无关组的概念和最大线性无关组的概念是一样的了。
我们规定,只有零向量的向量组的秩是。
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参考资料
- 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN
978-7-0304-0417-6
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线性代数(学科代码:1102110,GB/T 13745—2009) | |
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