曲面的第二基本形式

曲面的第二基本形式是描述曲面形状的几何不变量之一，它是一个二次微分形式。

定义

假设有曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$定义在平面区域$D$上，并设$\boldsymbol{n}(u, v)$是其上一点$\boldsymbol{r}(u, v)$对应的单位法向量，规定 $$\boldsymbol{n} = \dfrac{\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v}{|\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v|}$$ 那么称如下微分形式 $$-(\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \mathrm{d}\boldsymbol{n}) = -(\boldsymbol{r}_u \mathrm{d}u + \boldsymbol{r}_v \mathrm{d}v, \boldsymbol{n}_u \mathrm{d}u + \boldsymbol{n}_v \mathrm{d}v)$$ 为该曲面的第二基本形式。常引入记号 $$\begin{align} L & = (\boldsymbol{r}_{uu}, \boldsymbol{n}) = - (\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{n}_u), \\ M & = (\boldsymbol{r}_{uv}, \boldsymbol{n}) = - (\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{n}_v) = - (\boldsymbol{r}_v, \boldsymbol{n}_u), \\ N & = (\boldsymbol{r}_{vv}, \boldsymbol{n}) = - (\boldsymbol{r}_v, \boldsymbol{n}_v). \end{align}$$ 因此有 $$-(\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \mathrm{d}\boldsymbol{n}) = L \mathrm{d}u\mathrm{d}u + 2M \mathrm{d}u\mathrm{d}v + N\mathrm{d}v\mathrm{d}v.$$ 假设上述曲面的第一基本形式系数为$E, G, F$，那么第二基本形式的系数还有如下关系： $$L = \dfrac{(\boldsymbol{r}_{uu},\boldsymbol{r}_u,\boldsymbol{r}_v)}{\sqrt{EG - F^2}}, \quad M = \dfrac{(\boldsymbol{r}_{uv},\boldsymbol{r}_u,\boldsymbol{r}_v)}{\sqrt{EG - F^2}}, \quad N = \dfrac{(\boldsymbol{r}_{vv},\boldsymbol{r}_u,\boldsymbol{r}_v)}{\sqrt{EG - F^2}}.$$

参数变换

假设曲面$S$有两种不同的参数表示$\boldsymbol{r}(u, v)$和$\boldsymbol{r}(x, y)$，它们之间的 Jacobi 矩阵为 $$\boldsymbol{J} = \dfrac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = \begin{pmatrix} u_x & v_y \\ u_y & v_y \end{pmatrix}$$ 那么由一阶微分的形式不变性，当$\det\boldsymbol{J} > 0$时这两种参数表示下的第二基本形式相同；当$\det\boldsymbol{J} < 0$时这两种参数表示下的第二基本形式相差一个符号。

在刚体运动下，曲面的第二基本形式不变，而在反射作用（变换矩阵的行列式为-1）下曲面的第二基本形式符号改变。因此第二基本形式是刚体运动的不变量。

计算

由二元函数$f(x, y)$确定的曲面的第二基本形式为 $$-(\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \mathrm{d}\boldsymbol{n}) = \dfrac{f_{xx} \mathrm{d}x \mathrm{d}x + 2 f_{xy} \mathrm{d}x \mathrm{d}y + f_{yy} \mathrm{d}y \mathrm{d}y}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}.$$ 由隐函数$F(x, y, z) = 0$确定的曲面的第二基本形式为 $${\begin{aligned}-(\mathrm {d} {\boldsymbol {r}},\mathrm {d} {\boldsymbol {n}})=&{\dfrac {-\operatorname {sgn} F_{z}}{F_{z}^{2}{\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}}}\\&{\big [}F_{xx}F_{z}^{2}-2F_{x}F_{z}F_{xz}+F_{x}^{2}F_{zz})\mathrm {d} x\mathrm {d} x+\\&2(F_{xy}F_{z}^{2}-F_{y}F_{z}F_{xz}-F_{x}F_{z}F_{yz}+F_{x}F_{y}F_{zz})\mathrm {d} x\mathrm {d} y+\\&(F_{yy}F_{z}^{2}-2F_{y}F_{z}F_{yz}+F_{y}^{2}F_{zz})\mathrm {d} y\mathrm {d} y{\big ]}.\end{aligned}}$$

应用

第一和第二基本形式可以完全确定曲面的形状，在此基础上还可以定义法曲率和主曲率以及 Gauss 曲率等概念用于更精细地描述曲面的局部特性。

平面的第二基本形式为零，进一步，曲面是平面（或其一部分）当且仅它的第二基本形式为零。圆柱面的第二基本形式为非零常数。

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.