曲面的第三基本形式

曲面的第三基本形式是描述曲面形狀的幾何不變量之一，它是一個二次微分形式，可以通過曲面的前兩個基本形式導出。

定義

假設有曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$定義在平面區域$D$上，並設$\boldsymbol{n}(u, v)$是其上一點$\boldsymbol{r}(u, v)$對應的單位法向量，規定 $$\boldsymbol{n} = \dfrac{\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v}{|\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v|}$$ 那麼稱如下微分形式 $$(\mathrm{d}\boldsymbol{n}, \mathrm{d}\boldsymbol{n}) = (\boldsymbol{n}_u \mathrm{d}u + \boldsymbol{n}_v \mathrm{d}v, \boldsymbol{n}_u \mathrm{d}u + \boldsymbol{n}_v \mathrm{d}v)$$ 為該曲面的第三基本形式。容易看到這是一個幾何量，因為它是單位球面的第一基本形式在 Gauss 映射下的象。

和其它基本形式的關係

假設曲面的第一基本形式和曲面的第二基本形式分別為$(\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \mathrm{d}\boldsymbol{r})$和$-(\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \mathrm{d}\boldsymbol{n})$，$E, F, G; L, M, N$分別是第一、二基本形式對應的係數，那麼 $$(\mathrm{d}\boldsymbol{n}, \mathrm{d}\boldsymbol{n}) = \begin{pmatrix} \mathrm{d}u & \mathrm{d}v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{d}u \\ \mathrm{d}v \end{pmatrix}$$ 證明如下：首先，假設$$(\mathrm{d}\boldsymbol{n}, \mathrm{d}\boldsymbol{n}) = \begin{pmatrix} \mathrm{d}u & \mathrm{d}v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} (\boldsymbol{n}_u, \boldsymbol{n}_u) & (\boldsymbol{n}_u, \boldsymbol{n}_v) \\ (\boldsymbol{n}_u, \boldsymbol{n}_v) & (\boldsymbol{n}_v, \boldsymbol{n}_v) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{d}u \\ \mathrm{d}v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{d}u & \mathrm{d}v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{d}u \\ \mathrm{d}v \end{pmatrix}$$ 那麼 $$\begin{align} \begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \boldsymbol{n}_u \\ \boldsymbol{n}_v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{n}_u & \boldsymbol{n}_v \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_u \\ \boldsymbol{r}_v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_u & \boldsymbol{r}_v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} \end{align}$$ 其中，矩陣 $$W = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ 是 Weingarten 變換對應的矩陣。繼續我們將證明：第三基本形式 $$(\mathrm {d} {\boldsymbol {n}},\mathrm {d} {\boldsymbol {n}})=-K(\mathrm {d} {\boldsymbol {r}},\mathrm {d} {\boldsymbol {r}})+2H(\mathrm {d} {\boldsymbol {r}},\mathrm {d} {\boldsymbol {n}}).$$ 其中$H, K$分別是平均曲率和 Gauss 曲率。實際上要證明上式，等價地即證明 $${\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}-2H{\begin{pmatrix}L&M\\M&N\end{pmatrix}}+K{\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}=O$$ 由於矩陣$\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}$是可逆正定矩陣，上述式子兩端同時右乘$\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1}$即證明 $$W^{2}-2HW+K=O$$ 注意到$H = \dfrac{k_1+k_2}{2}, K = k_1 k_2$，$k_1, k_2$是$W$的特徵值，故 $$\Delta _{W}(x)=x^{2}-2Hx+K$$ 是$W$的特徵多項式，由 Cayley-Hamilton 定理立得結論成立。

或者，也可以採用下述更為簡單的證法： $${\begin{aligned}&\quad ~(\mathrm {d} {\boldsymbol {n}},\mathrm {d} {\boldsymbol {n}})+(k_{1}+k_{2})(\mathrm {d} {\boldsymbol {n}},\mathrm {d} {\boldsymbol {r}})+k_{1}k_{2}(\mathrm {d} {\boldsymbol {r}},\mathrm {d} {\boldsymbol {r}})\\&=(\mathrm {d} {\boldsymbol {n}}+k_{1}\mathrm {d} {\boldsymbol {r}},\mathrm {d} {\boldsymbol {n}}+k_{2}\mathrm {d} {\boldsymbol {r}})\\&=(\mathrm {d} {\boldsymbol {n}}+{\mathcal {W}}(\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}),\mathrm {d} {\boldsymbol {n}}+{\mathcal {W}}(\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}))\\&=(\mathrm {d} {\boldsymbol {n}}-\mathrm {d} {\boldsymbol {n}},\mathrm {d} {\boldsymbol {n}}-\mathrm {d} {\boldsymbol {n}})\\&=(0,0)=0.\end{aligned}}$$

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.