曲面的第三基本形式是描述曲面形状的几何不变量之一,它是一个二次微分形式,可以通过曲面的前两个基本形式导出。
定义[]
假设有曲面
定义在平面区域
上,并设
是其上一点
对应的单位法向量,规定

那么称如下微分形式

为该曲面的第三基本形式。容易看到这是一个几何量,因为它是单位球面的第一基本形式在 Gauss 映射下的象。
和其它基本形式的关系[]
假设曲面的第一基本形式和曲面的第二基本形式分别为
和
,
分别是第一、二基本形式对应的系数,那么

证明如下:首先,假设

那么

其中,矩阵

是
Weingarten 变换对应的矩阵。继续我们将证明:第三基本形式

其中

分别是
平均曲率和
Gauss 曲率。实际上要证明上式,等价地即证明

由于矩阵

是可逆正定矩阵,上述式子两端同时右乘

即证明

注意到

,

是

的特征值,故

是

的
特征多项式,由
Cayley-Hamilton 定理立得结论成立。
或者,也可以采用下述更为简单的证法:

参考资料