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曲面的第三基本形式是描述曲面形状的几何不变量之一,它是一个二次微分形式,可以通过曲面的前两个基本形式导出。

定义[]

假设有曲面定义在平面区域上,并设是其上一点对应的单位法向量,规定

那么称如下微分形式
为该曲面的第三基本形式。容易看到这是一个几何量,因为它是单位球面的第一基本形式在 Gauss 映射下的象。

和其它基本形式的关系[]

假设曲面的第一基本形式曲面的第二基本形式分别为分别是第一、二基本形式对应的系数,那么

证明如下:首先,假设
那么
其中,矩阵
Weingarten 变换对应的矩阵。继续我们将证明:第三基本形式
其中分别是平均曲率Gauss 曲率。实际上要证明上式,等价地即证明
由于矩阵是可逆正定矩阵,上述式子两端同时右乘即证明
注意到的特征值,故
特征多项式,由 Cayley-Hamilton 定理立得结论成立。

或者,也可以采用下述更为简单的证法:

参考资料

  1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.
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