曲面的第一基本形式

曲面的第一基本形式是描述曲面形状的几何不变量之一，它是一个二次微分形式。可以用于计算曲面上曲线的弧长以及曲面上曲线的夹角。

定义

假设有曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$定义在平面区域$D$上，那么称该曲面上一段弧长微元的平方 $$\mathrm{d}s^2 = (\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \mathrm{d}\boldsymbol{r}) = (\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_u) \mathrm{d}u\mathrm{d}u + 2(\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v) \mathrm{d}u\mathrm{d}v + (\boldsymbol{r}_v, \boldsymbol{r}_v) \mathrm{d}v\mathrm{d}v.$$ 为该曲面的第一基本形式。常引入记号 $$E = (\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_u), \quad F = (\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v), \quad G = (\boldsymbol{r}_v, \boldsymbol{r}_v).$$ 并有形式矩阵 $$\mathrm{d}s^2 = \begin{pmatrix} \mathrm{d}u, \mathrm{d}v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{d}u \\ \mathrm{d}v \end{pmatrix}$$

参数变换

假设曲面$S$有两种不同的参数表示$\boldsymbol{r}(u, v)$和$\boldsymbol{r}(x, y)$，它们之间的 Jacobi 矩阵为 $$\boldsymbol{J} = \dfrac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)} = \begin{pmatrix} u_x & v_y \\ u_y & v_y \end{pmatrix}$$ 那么 $$\begin{pmatrix} \overline{E} & \overline{F} \\ \overline{F} & \overline{G} \end{pmatrix} = \boldsymbol{J} \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \boldsymbol{J}^\text{T}.$$ 其中$E, F, G$如上定义， $$\overline{E} = (\boldsymbol{r}_x, \boldsymbol{r}_x), \quad \overline{F} = (\boldsymbol{r}_x, \boldsymbol{r}_y), \quad \overline{G} = (\boldsymbol{r}_y, \boldsymbol{r}_y).$$ 进一步注意基变换公式的微分 $$\begin{pmatrix} \mathrm{d}u \\ \mathrm{d}v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_x & v_y \\ u_y & v_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm{d}x \\ \mathrm{d}y \end{pmatrix}$$ 可得第一微分形式在不同的参数表示下是唯一的，即它是几何不变量。

计算

由二元函数$f(x, y)$确定的曲面的第一基本形式为 $$(\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \mathrm{d}\boldsymbol{r}) = (1 + f_x^2) \mathrm{d}x \mathrm{d}x + 2 f_x f_y \mathrm{d}x \mathrm{d}y + (1 + f_y^2) \mathrm{d}y \mathrm{d}y.$$ 由隐函数$F(x, y, z) = 0$确定的曲面的第一基本形式为 $$(\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \mathrm{d}\boldsymbol{r}) = (1 + \dfrac{F_x^2}{F_z^2}) \mathrm{d}x \mathrm{d}x + 2 \dfrac{F_x F_y}{F_z^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y + (1 + \dfrac{F_y^2}{F_z^2}) \mathrm{d}y \mathrm{d}y.$$

应用

弧长

考虑曲面$S$上的一条曲线$\boldsymbol{r}(u(t), v(t))$，其中$t \in [a, b]$，那么该曲线的弧长为 $$l = \int_a^b \left| \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} \right| \mathrm{d}t = \int_a^b \sqrt{E \left(\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\right)^2 + F \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} + G \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)^2} \mathrm{d}t.$$

切向量与夹角

定义中的$\sqrt{E}, \sqrt{G}$分别是曲面上$\boldsymbol{r}(u, v)$点处切向量$\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v$的长度，且$\dfrac{F}{\sqrt{EG}}$是切向量$\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v$的夹角余弦值。

假设曲面上有两条曲线，它们相交于$P(u, v) = \boldsymbol{r}(u, v)$，假设这两条曲线在这一点的切方向分别为$(\mathrm{d}u, \mathrm{d}v), (\delta u, \delta v)$，记它们的夹角为$\alpha$，那么由 $$(\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \delta \boldsymbol{r}) = |\mathrm{d}\boldsymbol{r}| |\delta \boldsymbol{r}| \cos \alpha$$ 可知 $$\cos \alpha ={\dfrac {E\mathrm {d} u\delta u+F(\mathrm {d} u\delta v+\mathrm {d} v\delta u)+G\mathrm {d} v\delta v}{{\sqrt {E\mathrm {d} u^{2}+2F\mathrm {d} u\mathrm {d} v+G\mathrm {d} v^{2}}}{\sqrt {E\delta u^{2}+2F\delta u\delta v+G\delta v^{2}}}}}.$$

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.