曲面的测地法坐标系

这里介绍的是三维空间中的二维正则曲面的测地法坐标系，关于一般微分流形的测地法坐标系详见测地法坐标系。

指数映射

假设有正则曲面$S$及其上一点$P$，在$P$的某个邻域$U(P)$中存在一个曲面$S$的正交参数表示$(u^1, u^2)$，且$(u^1, u^2)|_P = (0, 0)$，因此在这个邻域中曲面的第一基本形式可以表示为 $$g_{11} (\mathrm{d}u^1)^2 + g_{22} (\mathrm{d}u^2)^2.$$ 且我们假设$g_{11}|_P = g_{22}|_P = 1.$于是$\{ P; \boldsymbol{r}_1|_P, \boldsymbol{r}_2|_P \}$是$T_P S$的一个正交标架。

下面我们定义指数映射：用记号$\gamma_\boldsymbol{v}(s) := \gamma(\boldsymbol{v}, s)$表示由$P$点出发且在$P$点单位切向量为$\boldsymbol{v}$的测地线，$\boldsymbol{v}$的全体组成上述$\gamma$的定义域，它是一个闭圆周，因而是紧集，由常微分方程组的解对初值的连续依赖性可知存在一个$\varepsilon > 0$使得对任意的$\boldsymbol{v} \in T_PS$，当$s \in [0, \varepsilon)$时$\gamma_\boldsymbol{v}(s)$有定义。

假设非零切向量$\boldsymbol{v} \in T_PS$不是单位向量，我们可以将其单位化，并定义如下映射 $$\begin{align} \exp_P: U(P) \subset T_P S & \to S, \\ \boldsymbol{v} & \mapsto \gamma \left( \dfrac{\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|}, |\boldsymbol{v}| \right). \end{align}$$ 这个映射就被称为指数映射。它是定义在$P$的切平面一个邻域中的映射。把射线映成了对应的测地线。

法坐标系

借助指数映射可以用一点的切平面的邻域中的点的参数表示给出曲面上该点的一个邻域中的曲面参数表示。

如果我们取$P$处切平面$T_P S$以$P$为原点的平面的一组正交标架$\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$，那么上述指数映射的定义域中的非零切向量可以表示为 $$\exp_P: \boldsymbol{v} = v^1 \boldsymbol{e}_1 + v^2 \boldsymbol{e}_2 \mapsto \boldsymbol{r}(v^1, v^2).$$ 这样的参数表示$(v^1, v^2)$称为以$P$为原点的法坐标系，它和测地平行坐标系一样，只是在一个小邻域中有定义。

性质

可以证明，上述参数表示$(v^1, v^2)$在$P$点的一个邻域中是正则的，即 Jacobi 行列式$\det \left( \dfrac{\partial u^\alpha|_Q}{\partial v^\beta} \right) \ne 0, \forall Q \in U(P).$

因此进一步可以说明，若假设$P$点为原点的法坐标系$(v^1, v^2)$下曲面的第一基本形式为 $$g_{11} (\mathrm{d}v^1)^2 + 2g_{12} \mathrm{d}v^1 \mathrm{d}v^2 + g_{22} (\mathrm{d}v^2)^2.$$ 那么$\forall \alpha, \beta, \gamma = 1,2:$

1. $g_{\alpha \beta}|_P = \delta_{\alpha \beta}.$
2. $\left. \dfrac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial v^\gamma} \right|_P = 0.$

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.