曲面的正交标架

对于三维空间中的正则曲面，我们可以通过其上一点的两个线性无关的切向量来给出这一点的切平面参数表示，进而给出该点的活动标架，一般来说这种标架不是正交标架，而在实际问题中正交标架因其性质更好故应用更多，因此这一页的内容我们就着手引进曲面上的正交标架。

正交标架

假设正则曲面有参数表示$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(u, v)$，那么对每一点的切向量单位正交化（Gram-Schmidt 正交化过程）： $$\boldsymbol{e}_1 = \dfrac{\boldsymbol{r}_u}{\sqrt{(\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_u)}}, \quad \boldsymbol{e}_2 = \dfrac{\boldsymbol{r}_v - (\boldsymbol{r}_v, \boldsymbol{e}_1) \boldsymbol{e}_1}{|\boldsymbol{r}_v - (\boldsymbol{r}_v, \boldsymbol{e}_1) \boldsymbol{e}_1|}$$ 同时通过向量的外积得到单位法向量 $$\boldsymbol{n} = \boldsymbol{e}_1 \times \boldsymbol{e}_2.$$ 这样，$\{ \boldsymbol{r}; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{n} \}$是单位正交的活动标架。在切平面上有参数变换 $$\begin{pmatrix} \boldsymbol{r}_u \\ \boldsymbol{r}_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_1 \\ \boldsymbol{e}_2 \end{pmatrix} =: \boldsymbol{A} \begin{pmatrix} \boldsymbol{e}_1 \\ \boldsymbol{e}_2 \end{pmatrix}$$ 且其中 $$\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^\text{T} = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}.$$ 由于后者是对称正定矩阵，因此$\boldsymbol{A}$是它的矩阵平方根，且是$a_{11} > 0$的那一个。

微分形式

假设如上，令两个一阶微分形式是切空间$T_P(S)$的对偶基 $$\begin{pmatrix} \omega_1 & \omega_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \boldsymbol{e_1}) & (\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \boldsymbol{e_2}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{d}u & \mathrm{d}v \end{pmatrix} \boldsymbol{A}.$$ 再引入一阶微分形式 $$\omega_{ij} = (\mathrm{d}\boldsymbol{e}_i, \boldsymbol{e}_j), \quad i,j=1,2,3.$$ 显然注意到 $$(\boldsymbol{e}_i, \boldsymbol{e}_j) = \delta_{ij}.$$ 是 Kronecker 记号，对其取外微分 $$\omega_{ij} + \omega_{ji} = 0.$$ 因此只有三个微分形式是独立的，即$\omega_{12}, \omega_{13}, \omega_{23}.$

标架的运动方程

由上述微分形式的定义得到曲面上活动标架的运动方程 $$\mathrm{d} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r} \\ \boldsymbol{e}_1 \\ \boldsymbol{e}_2 \\ \boldsymbol{e}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \omega_1 & \omega_2 & 0 \\ 0 & 0 & \omega_{12} & \omega_{13} \\ 0 & -\omega_{12} & 0 & \omega_{23} \\ 0 & -\omega_{13} & -\omega_{23} & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \boldsymbol{r} \\ \boldsymbol{e}_1 \\ \boldsymbol{e}_2 \\ \boldsymbol{e}_3 \end{pmatrix}$$ 上述标架$\{ \boldsymbol{r}; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{n} \}$称为曲面的 Frenet 标架。

Weingarten 变换

曲面的 Weingarten 变换在基底$\{ \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2 \}$下的矩阵$\boldsymbol{B}^\text{T}$是两类微分形式在$T_P(S)$上的参数变换$\boldsymbol{B} = (b_{ij})_{2 \times 2}$的转置矩阵： $$\begin{pmatrix} \omega_{13} & \omega_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \omega_1 & \omega_2 \end{pmatrix} \boldsymbol{B}.$$ 不同基底下的 Weingarten 变换矩阵是相似的，因此它的两个特征值$k_1, k_2$始终是一样的，就是主曲率。

曲面的几何量

可以用微分形式方便地表示出我们之前讨论的各种曲面的几何量，例如

1. 曲面的第一基本形式：$(\mathrm{d}\boldsymbol{r}, \mathrm{d}\boldsymbol{r}) = \omega_1^2 + \omega_2^2.$
2. 曲面的第二基本形式：$(\mathrm{d}\boldsymbol{n}, \mathrm{d}\boldsymbol{r}) = \omega_1 \omega_{13} + \omega_2 \omega_{23}.$
3. 曲面的第三基本形式：$(\mathrm{d}\boldsymbol{n}, \mathrm{d}\boldsymbol{n}) = \omega_{13}^2 + \omega_{23}^2.$
4. Gauss 曲率：$K = \det B.$
5. 平均曲率：$H = \dfrac{1}{2} \text{tr} B.$
6. 曲面面积微元：$\mathrm{d}A = \omega_1 \land \omega_2 = \mathrm{d}u \land \mathrm{d}v.$
7. Gauss 映射的面积微元：$\mathrm{d}\sigma = \omega_{13} \land \omega_{23} = K \mathrm{d}u \land \mathrm{d}v.$
8. Hopf 不变式：$\psi = \omega_1 \omega_{23} - \omega_2 \omega_{13}.$

其中$\and$是微分形式的外积运算。

曲面的结构方程

曲面的结构方程是上述五个微分形式之间的所具有的某种关系，这些微分形式并不是随意取值的，只有满足结构方程才可以确定一个曲面。曲面的结构方程用微分形式表示为 $$\begin{cases} \mathrm{d}\omega_1 & = \omega_{12} \land \omega_2, \\ \mathrm{d}\omega_2 & = \omega_{21} \land \omega_1, \\ \mathrm{d}\omega_{12} & = \omega_{13} \land \omega_{32}, \\ \mathrm{d}\omega_{13} & = \omega_{12} \land \omega_{23}, \\ \mathrm{d}\omega_{23} & = \omega_{23} \land \omega_{13}. \end{cases}$$ 其中，前两个是固有性质，第三个方程是 Gauss 方程，最后两个方程是 Codazzi 方程。这些微分形式的方程都是在正交标架下讨论的。

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.