曲面

在几何中，曲面是一个基本的概念。三维空间中的曲面有两个自由度，因此可以用两个参数来定位曲面上的点。而在$n$维空间情形下，我们一般称$n-1$维的几何图形为曲面，低于$n-1$维的图形是曲面的退化形式。

方程

三维空间中的曲面可以用一个三元方程$F(x, y, z) = 0$表示，这样的方程称为曲面的普通方程，另外，曲面还可用如下参数方程表示

$$\begin{cases} x = x(u, v), \\ y = y(u, v), \\ z = z(u, v), \end{cases} \quad (u, v) \in D \subseteq \R^2.$$

上述三个函数都是二元实函数，它可以写成向量值函数

$$\boldsymbol{r}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).$$

此外，一个二元实函数$z = f(x, y)$在空间上的图像也是一个曲面，这是由限制条件$F(x, y, z) = z - f(x, y) = 0$给出的，等价于

$$\begin{cases} x = u, \\ y = v, \\ z = f(u, v). \end{cases}$$

曲面的切面和法线

普通方程形式

设曲面$F(x, y, z) = 0$对各个变量的偏导数连续，$M_0(x_0, y_0, z_0)$在曲面上，则过$M_0$的曲面上的任意一条光滑曲线$(x(t), y(t), z(t))$都满足

$$F(x(t), y(t), z(t)) = 0$$

对$t$求导，当$t=t_0$时有

$$F_x \Big|_{M_0} x'(t_0) + F_y \Big|_{M_0} y'(t_0) + F_z \Big|_{M_0} z'(t_0) = 0$$

设$\vec{n} = \left( F_x \Big|_{M_0}, F_y \Big|_{M_0}, F_z \Big|_{M_0} \right)$，上述等式说明$\vec{n}$和过点$M_0$的曲面上的任意一条光滑曲线的切向量$(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$都垂直，我们把以$\vec{n}$作为法向量的平面称为曲面$F(x, y, z) = 0$在$M_0$处的切（平）面，显然它的方程可以是

$$F_x \Big|_{M_0} (x - x_0) + F_y \Big|_{M_0} (y - y_0) + F_z \Big|_{M_0} (z - z_0) = 0$$

而以$\vec{n}$为方向向量且过$M_0$的直线就称作曲面$F(x, y, z) = 0$在$M_0$处的法线。

参数方程形式

如果曲面是以参数方程给出的，情况稍有复杂，仅叙述结论。

设曲面的参数方程为

$$\begin{cases} x = x(u, v), \\ y = y(u, v), \\ z = z(u, v). \end{cases}$$

则过曲面上一点$M_0(x_0, y_0, z_0)$的切面（如果存在）方程是

$$\left. \dfrac{D(y, z)}{D(u, v)} \right|_{M_0} (x - x_0) + \left. \dfrac{D(z, x)}{D(u, v)} \right|_{M_0} (y - y_0) + \left. \dfrac{D(x, y)}{D(u, v)} \right|_{M_0} (z - z_0) = 0$$

法向量为

$$\left( \left. \dfrac{D(y, z)}{D(u, v)} \right|_{M_0}, \left. \dfrac{D(z, x)}{D(u, v)} \right|_{M_0}, \left. \dfrac{D(x, y)}{D(u, v)} \right|_{M_0} \right)$$

曲面的夹角

两个相交曲面$S_1, S_2$在它们的交线$l$上的点$P$的法线$\boldsymbol{n}_1, \boldsymbol{n}_2$的夹角$\alpha$，就称作这两个相交曲面$S_1, S_2$在交线$l$上该点$P$的夹角。假设$l$的曲率为$\kappa$，$l$在$S_1, S_2$上的法曲率为$k_1, k_2$，那么$\alpha$满足

$$\kappa^2 \sin^2 \alpha = k_1^2 + k_2^2 - 2 k_1 k_2 \cos \alpha.$$

如果两个相交的曲面在交线上的点的切面相互垂直，就称这两个曲面正交，这也等价于两个相交曲面在它们的交线上的点的法线相互垂直。正交曲面可用来形成三维空间中的坐标系。

曲面的两侧

三维曲面分为单侧曲面和双侧曲面，单侧曲面的一个典型例子是 Mobius 带，它不可定向，生活中常见的曲面都是双侧曲面，它们都可以定向，在多元积分中我们都假定曲面是双侧的。

双侧曲面上某点的方向我们规定为在该点处法线的方向，有时为了计算方便还常假定法线是单位向量。曲面的方向是曲面上每一点的向量值函数，它必须是连续的，这就要求曲面规定的方向不能上下交叉。按照这种方法，双侧曲面有两个方向，例如$Oxy$平面我们可以规定$z$轴正向为它的方向，也可以选择$z$轴负向，但是不能一部分正向一部分负向，这是不连续的。

对于闭曲面，有内侧和外侧，指向曲面所围内部的方向为内侧，例如球面我们可以规定指向球心和背离球心两个方向，分别称为球面的内侧和外侧。

对于由二元函数$z = z(x, y)$确定的曲面，它的方向$z$轴正向的夹角要么恒为锐角，要么恒为钝角，我们把前者称作曲面的上侧，后者称为曲面的下侧。同样对于$y = y(x, z), x = x(y, z)$分别有左侧和右侧以及前侧和后侧的概念。

曲面的面积

参见曲面的面积。

曲面的曲率

参见法曲率。