曲線

在空間幾何中，曲線是一個基本的概念。曲線有一個自由度，因此可以用一個參數來定位曲線上的點。這裡主要討論一般的高維曲線，平面曲線詳見平面曲線。

方程

$\R^n$曲線的參數方程是 $$\begin{cases} x_1 = x_1(t), \\ x_2 = x_2(t), \\ \cdots \\ x_n = x_n(t), \end{cases} \quad t \in S \subseteq \R.$$ 有時簡寫為$(x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t))^\text{T}$。

三維空間中曲線也可以看作是兩個曲面的交線，這時曲面的方程稱作曲線的普通方程，即 $$\begin{cases} F(x, y, z) = 0, \\ G(x, y, z) = 0. \end{cases}$$

特別地，曲線的普通方程如果寫為 $$\begin{cases} y = y(x), \\ z = z(x). \end{cases}$$ 那它可以理解為參數曲線 $$\begin{cases} x = t, \\ y = y(t), \\ z = z(t). \end{cases}$$ 在微分幾何中，曲線可以通過一個映射$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s), s \in [a, b]$來表示。一般要求這個映射是連續可微的（甚至有時還要求是光滑的以便可以使用微分手段研究曲線）。

閉曲線

我們稱區間$[0, l]$上的一條平面光滑曲線$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)$是閉曲線，是指$\boldsymbol{r}^{(k)}(0) = \boldsymbol{r}^{(k)}(l).$這等價於$\boldsymbol{r}$是周期為$l$的光滑映射。

特別地，如果該曲線上沒有重點（即$\forall x, y \in [0, l), x \ne y, \boldsymbol{r}(x) \ne \boldsymbol{r}(y)$），我們就稱其為簡單閉曲線。

曲線的切線

以三維空間為例，曲線$(x(t), y(t), z(t))^\text{T}$在其上一點$M_0(x(t_0), y(t_0), z(t_0))^\text{T}$處的切線被定義為該處割線的極限，即 $$\dfrac{x - x_0}{x'(t_0)} = \dfrac{y - y_0}{y'(t_0)} = \dfrac{z - z_0}{z'(t_0)}.$$ 向量$(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))^\text{T}$稱作曲線在這一點的切向量。

在使用曲線的普通方程來求切線時，情況有點複雜，需要用到偏導數的相關知識。設曲線方程為 $$\begin{cases} F(x, y, z) = 0, \\ G(x, y, z) = 0. \end{cases}$$ 那麼，它如果在其上一點$M_0(x(t_0), y(t_0), z(t_0))^\text{T}$處存在切線，那麼切向量是 $$\left( \left. \dfrac{D(F,G)}{D(y,z)} \right|_{M_0}, \left. \dfrac{D(F,G)}{D(z,x)} \right|_{M_0}, \left. \dfrac{D(F,G)}{D(x,y)} \right|_{M_0} \right)$$ 其中，Jacobi 行列式： $$\dfrac{D(F,G)}{D(y,z)} = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial F}{\partial y} & \dfrac{\partial F}{\partial z} \\ \dfrac{\partial G}{\partial y} & \dfrac{\partial G}{\partial z} \end{vmatrix}$$ 向量值函數表示的曲線$\boldsymbol{r}(s)$的切向量為$\boldsymbol{r}'(s)$，因此切線為 $$\boldsymbol{t}(s) = \boldsymbol{r}(s) + k \boldsymbol{r}'(s).$$

法平面

$\R^n$中曲線上一點的切線的正交補空間稱為該曲線在這一點的法空間，它是$n-1$維的線性子流形。三維空間中就體現為法平面，曲線$(x(t), y(t), z(t))^\text{T}$上一點$M_0(x(t_0), y(t_0), z(t_0))^\text{T}$且與該點處切線垂直的平面，稱作曲線在這一點的法平面，它是二維曲線的法線的推廣。在參數方程下法平面的方程是 $$(x - x_0)x'(t_0) + (y - y_0)y'(t_0) + (z - z_0)z'(t_0) = 0.$$ $\R^n$中向量值函數確定的曲線$\boldsymbol{r}(s)$在其上一點$\boldsymbol{r}(s_0)$的法空間為$$N = \{ \boldsymbol{n}(s) \in \R^n: (\boldsymbol{n}(s) - \boldsymbol{r}(s_0), \boldsymbol{r}'(s)) = 0 \}.$$

正則曲線

正則曲線是 Euclid 空間中的一維光滑流形，一般按照其所處的空間分為平面曲線和三維曲線等。我們一般研究曲線都會藉助一種參數表示，這樣的曲線也稱參數曲線。 假設$\R^n$中的一條曲線$\boldsymbol{r}(t)$有參數表示 $$\begin{align} \boldsymbol{r}: (a, b) & \to \R^n, \\ t & \mapsto (x_1(t), x_2(t), \cdots, x_n(t)). \end{align}$$ 我們稱其是正則曲線，如果

1. $\boldsymbol{r}$的每個分量都是光滑函數;
2. $\{ \boldsymbol{r}'(t), \boldsymbol{r}''(t), \cdots, \boldsymbol{r}^{(n-1)}(t) \}$線性無關。

曲線的正則性不是幾何不變量，因為不同的參數表示曲線的光滑性可能不同，例如 $$\begin{cases} x = |t|, \\ y = |t|, \end{cases}, t \in (-1, 1) \quad \begin{cases} x = t, \\ y = t, \end{cases} t \in (-1, 1)$$ 兩種參數表示為一條曲線，但前一個不是正則的。正則曲線的定義主要用來在其上建立 Frenet 標架。

弧長參數

對正則曲線可以引入弧長參數的概念，在此基礎上研究曲線是很好的，特別是活動標架——Frenet 標架。

曲率

正則曲線的曲率總是存在的，設二維正則曲線有弧長參數表示$\boldsymbol{r}(s) = (x(s), y(s)) \in \R^2$，曲率定義為 $$\kappa(s) = \pm \sqrt{x''^2(s) + y''^2(s)}.$$ 這裡方向的選擇依據是：曲線的單位切向量$\boldsymbol{t}(s) = \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}s}$和單位法向量$\boldsymbol{n}(s) = \dfrac{1}{|\kappa(s)|} \dfrac{\mathrm{d}\boldsymbol{t}}{\mathrm{d}s}$組成右手係為正，左手係為負。

三維及以上維度的正則曲線中曲率不再有正負，直接定義為 $$\kappa(s) = |\boldsymbol{r}''(s)|.$$ 這裡依舊採用的是弧長參數。

對於三維空間中任意參數的正則曲線$\boldsymbol{r}(t)$，它的曲率為 $$\kappa(t) = \dfrac{|\boldsymbol{r}'(t) \times \boldsymbol{r}''(t)|}{|\boldsymbol{r}'(t)|^3}.$$

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.