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在空间几何中,曲线是一个基本的概念。曲线有一个自由度,因此可以用一个参数来定位曲线上的点。这里主要讨论一般的高维曲线,平面曲线详见平面曲线

方程[]

曲线的参数方程是

有时简写为

三维空间中曲线也可以看作是两个曲面的交线,这时曲面的方程称作曲线的普通方程,即

特别地,曲线的普通方程如果写为

那它可以理解为参数曲线
在微分几何中,曲线可以通过一个映射来表示。一般要求这个映射是连续可微的(甚至有时还要求是光滑的以便可以使用微分手段研究曲线)。

闭曲线[]

我们称区间上的一条平面光滑曲线是闭曲线,是指这等价于是周期为的光滑映射。

特别地,如果该曲线上没有重点(即),我们就称其为简单闭曲线。

曲线的切线[]

以三维空间为例,曲线在其上一点处的切线被定义为该处割线的极限,即

向量称作曲线在这一点的切向量

在使用曲线的普通方程来求切线时,情况有点复杂,需要用到偏导数的相关知识。设曲线方程为

那么,它如果在其上一点处存在切线,那么切向量是
其中,Jacobi 行列式
向量值函数表示的曲线的切向量为,因此切线为

法平面[]

中曲线上一点的切线的正交补空间称为该曲线在这一点的法空间,它是维的线性子流形。三维空间中就体现为法平面,曲线上一点且与该点处切线垂直的平面,称作曲线在这一点的法平面,它是二维曲线的法线的推广。在参数方程下法平面的方程是

中向量值函数确定的曲线在其上一点的法空间为

正则曲线[]

正则曲线Euclid 空间中的一维光滑流形,一般按照其所处的空间分为平面曲线和三维曲线等。我们一般研究曲线都会借助一种参数表示,这样的曲线也称参数曲线。 假设中的一条曲线有参数表示

我们称其是正则曲线,如果

  1. 的每个分量都是光滑函数;
  2. 线性无关。

曲线的正则性不是几何不变量,因为不同的参数表示曲线的光滑性可能不同,例如

两种参数表示为一条曲线,但前一个不是正则的。正则曲线的定义主要用来在其上建立 Frenet 标架

弧长参数[]

对正则曲线可以引入弧长参数的概念,在此基础上研究曲线是很好的,特别是活动标架——Frenet 标架

曲率[]

正则曲线的曲率总是存在的,设二维正则曲线有弧长参数表示,曲率定义为

这里方向的选择依据是:曲线的单位切向量和单位法向量组成右手系为正,左手系为负。

三维及以上维度的正则曲线中曲率不再有正负,直接定义为

这里依旧采用的是弧长参数。

对于三维空间中任意参数的正则曲线,它的曲率为

参考资料

  1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.
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