曲率

在幾何中，曲率是描述一條曲線彎曲程度的量，曲率越大，曲線越「彎曲」。

概念

分析學定義

設一條可微曲線$l$在其上兩點$A, B$之間的弧長為$\Delta s$，點$A$處的切線與點$B$處切線的傾斜角的夾角為$\Delta \varphi$，那麼定義

$$\overline{\kappa}_{AB} = \left|\dfrac{\Delta \varphi}{\Delta s}\right|$$

為曲線$l$在這兩點$A, B$間的平均曲率。

接下來我們定義一點的曲率：設該可微曲線$l$在其上一點$A$的附近，$\Delta s, \Delta \varphi$如上定義，這兩個量都是$A$點附近的一點$B$的函數，進而，如果下述極限存在

$$|\kappa|(A) = \lim_{B \to A} \left|\dfrac{\Delta \varphi}{\Delta s}\right| = \left|\dfrac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} s}\right|$$

我們就稱它為曲線$l$在點$A$的絕對曲率。利用分析學手段這樣定義出來的曲率之所以稱為絕對曲率是因為它始終是非負的。

Frenet 標架定義

假設$n$維 Euclid 空間中有滿足如下條件的參數曲線$\boldsymbol{r}(t)$（我們稱這樣的曲線為正則曲線）：

1. $\boldsymbol{r}(t)$關於$t$的各階導數存在且連續。
2. $\{ \boldsymbol{r}'(t), \boldsymbol{r}''(t), \cdots, \boldsymbol{r}^{(n-1)}(t) \}$線性無關。

那麼它一定存在弧長參數，我們不妨就假設$t$就是它的弧長參數，那麼該曲線的 Frenet 標架矩陣$A = (a_{ij}(t))_{n \times n}$是反對稱的三對角陣，上次對角線上的元素$a_{i,i+1}$稱之為第$i$曲率，$i=1,2,\cdots,n-1.$可以證明其中前$n-2$個曲率都是正的。第一曲率常記作$\kappa(t)$，第二曲率常記作$\tau(t).$

按上述方式定義的三維空間曲線的第二曲率是通常意義下幾何中的絕對撓率。另外三維及以上正則曲線的第一曲率都是正的，和分析學定義的絕對曲率一致；而二維曲線的曲率有正負，有時稱作相對曲率，它的絕對值便是上述分析學定義的絕對曲率。

曲率圓

假設如上，當$\kappa \ne 0$時，我們可以作一個半徑為$\dfrac{1}{|\kappa|}$的圓$C$，且$C$經過$A$，且在點$A$的一個足夠小鄰域中，$C$的圓弧與$l$的部分弧段在$l$在$A$點處的切線的同側，我們稱$C$為該曲線$l$在點$A$處的曲率圓或密切圓，$\dfrac{1}{|\kappa|}$稱為曲率半徑。

易知$C$在$A$處的切線恰好就是$l$在$A$處的切線。一條曲線的曲率圓的圓心的軌跡稱為該曲線的漸屈線。

計算

二維

設平面曲線$l$二階可微，且有參數表示$(x(t), y(t))$，那麼（相對）曲率

$$\kappa(t) = \dfrac{x'(t) y''(t) - x''(t) y'(t)}{\sqrt{(x'^2(t) + y'^2(t))^3}},$$

當平面曲線是一二階可微函數$y=f(x)$的圖象時

$$\kappa(x) = \dfrac{y''}{\sqrt{(1 + y'^2)^3}},$$

當二階可微的曲線有極坐標$r = r(\theta)$表示時

$$\kappa(\theta) = \dfrac{r^2 + 2r'^2 - rr''}{\sqrt{(r^2 + r'^2)^3}}.$$

三維

三維空間中一條弧長參數的正則曲線$\boldsymbol{r}(s)$的 Frenet 標架為$\{ \boldsymbol{r}; \boldsymbol{t, n, b}\}$，那麼該曲線的曲率和撓率分別為

$$\kappa(s) = |\boldsymbol{t}'(s)|, \quad \tau(s) = (\boldsymbol{n}', \boldsymbol{b}).$$

如果該曲線不是弧長作為參數的正則曲線，假設它的參數為$t$，那麼計算公式為

$$\kappa(t) = \dfrac{|\boldsymbol{r}'(t) \times \boldsymbol{r}''(t)|}{|\boldsymbol{r}'(t)|^3}, \quad \tau(t) = \dfrac{(\boldsymbol{r}'(t), \boldsymbol{r}''(t), \boldsymbol{r}'''(t))}{|\boldsymbol{r}'(t) \times \boldsymbol{r}''(t)|^2}$$

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.