曲率线

曲面上的曲率线（curvature line）是一种特殊的曲线，它的切方向是曲面的主方向。由此定义的曲率线网是正交共轭网。

定义

曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$上的一条曲线$\boldsymbol{r}(u(t), v(t))$上任意一点$P$的切方向$\boldsymbol{t}(P)$是曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$在该点的主方向，我们就称这条曲线$\boldsymbol{r}(u(t), v(t))$是曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$的曲率线。

充要条件

曲面$S$上的曲线$\boldsymbol{r}(u(t), v(t))$是曲率线当且仅当$\boldsymbol{r}'(t)$和$\boldsymbol{n}'(t)$共线

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注意到 Weingarten 变换的定义

$$\mathcal{W}(\mathrm{d}\boldsymbol{r}) = - \mathrm{d} \boldsymbol{n}.$$ 因此对于曲线$\boldsymbol{r}(u(t), v(t)):$ $$\boldsymbol{n}'(t) = \boldsymbol{n}_u u'(t) + \boldsymbol{n}_v v'(t) = - \mathcal{W}(\boldsymbol{r}'(t)) = - k \boldsymbol{r}'(t).$$

其中$k$是主曲率，证毕。这个结论被称为 Rodriques 定理。

曲面$S$上的曲线$\boldsymbol{r}(u(t), v(t))$是曲率线当且仅当它是如下微分方程的解曲线：

$$\begin{vmatrix} \mathrm{d}v \mathrm{d}v & - \mathrm{d}u \mathrm{d}v & \mathrm{d}u \mathrm{d}u \\ E & F & G \\ L & M & N \\ \end{vmatrix} = 0.$$ 其中，$E, F, G$和$L,M,N$是曲面的第一基本形式和曲面的第二基本形式的系数。

曲面$S$上的曲线$C$是曲率线的充分必要条件是曲面$S$沿着曲线$C$的法线构成一个可展曲面。

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假设曲面的参数表示为$\boldsymbol{r}(u, v)$，$C$的弧长参数表示为${\boldsymbol {r}}_{C}(s)={\boldsymbol {r}}(u(s),v(s))$，曲面$S$沿着$C$的法向量记作$\boldsymbol{n}(s)$，$C$自身的 Frenet 标架记作$\{{\boldsymbol {r}}_{C}(s):{\boldsymbol {t}}_{C}(s),{\boldsymbol {n}}_{C}(s),{\boldsymbol {b}}_{C}(s)\}$。由$\boldsymbol{n}(s)$构成的直纹面记作$S_{l}:{\boldsymbol {r}}_{C}(s)+t{\boldsymbol {n}}(s)$，它是可展曲面的充要条件是

$$({\boldsymbol {r}}_{C}'(s),{\boldsymbol {n}}(s),{\boldsymbol {n}}'(s))=0.$$

1. 由$\boldsymbol{n}(s)$是单位向量得到$({\boldsymbol {n}}(s),{\boldsymbol {n}}'(s))=0.$
2. 由$\boldsymbol{n}(s)$是曲面的法向量得到$({\boldsymbol {r}}_{C}'(s),{\boldsymbol {n}}(s))=0.$

于是式#C1成立当且仅当$\boldsymbol{n}(s)$和${\boldsymbol {r}}_{C}'(s)$平行，根据 Rodriques 定理我们就得到结论。

旋转面的曲率线是这个曲面的经线和纬线，它们构成正交曲线网，可展曲面的曲率线是这个曲面的直母线和正交与直母线的另外一组曲线。它们也构成了正交曲线网。

其它性质

如果一曲面$S$的曲率线$C$的密切平面与$S$的切平面成定角，则$C$是平面曲线。

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假设$C:{\boldsymbol {r}}_{C}(s)$是弧长参数化的$S$的曲率线，并假设$\boldsymbol{n}(s)$是曲面$S: \boldsymbol{r}(u, v)$沿着曲线$C$的单位法向量，根据#充要条件 向量${\boldsymbol {r}}_{C}'(s)$与${\boldsymbol {n}}'(s)$平行，记曲线$C$的副法向量是${\boldsymbol {b}}_{C}(s)$，于是$\langle {\boldsymbol {b}}_{C}(s),{\boldsymbol {n}}(s)\rangle$是常数。求导得到 $$\langle {\boldsymbol {b}}_{C}'(s),{\boldsymbol {n}}(s)\rangle +\langle {\boldsymbol {b}}_{C}(s),{\boldsymbol {n}}'(s)\rangle =0.$$ 由于存在可微函数$c(s)$使得 $$\langle {\boldsymbol {b}}_{C}(s),{\boldsymbol {n}}'(s)\rangle =c(s)\langle {\boldsymbol {b}}_{C}(s),{\boldsymbol {r}}'_{C}(s)\rangle =0.$$ 这表明$\langle {\boldsymbol {b}}_{C}'(s),{\boldsymbol {n}}(s)\rangle =0.$记曲线$C$的主法向量是${\boldsymbol {n}}_{C}(s)$，那么$-\tau (s)\langle {\boldsymbol {n}}_{C}(s),{\boldsymbol {n}}(s)\rangle =0$，只要$\langle {\boldsymbol {n}}_{C}(s),{\boldsymbol {n}}(s)\rangle \neq 0$（由于$C$在$S$上，表明${\boldsymbol {n}}\perp {\boldsymbol {t}}_{C}$）我们就立即得到$C$的挠率$\tau (s)$恒为零，即$C$是平面曲线。

下面说明：$\langle {\boldsymbol {n}}_{C}(s),{\boldsymbol {n}}(s)\rangle =0$在$\tau (s)\neq 0$的时候不可能发生，实际上，对其求导得到 $$0=\langle {\boldsymbol {n}}_{C}'(s),{\boldsymbol {n}}(s)\rangle +\langle {\boldsymbol {n}}_{C}(s),{\boldsymbol {n}}'(s)\rangle =\langle -\kappa (s){\boldsymbol {t}}_{C}(s)+\tau (s){\boldsymbol {b}}_{C}(s),{\boldsymbol {n}}(s)\rangle +c(s)\langle {\boldsymbol {n}}_{C}(s),{\boldsymbol {t}}(s)\rangle .$$

由于$\langle {\boldsymbol {t}}_{C}(s),{\boldsymbol {n}}(s)\rangle =0$，上式就表明了$\boldsymbol{n}(s)$与${\boldsymbol {t}}_{C}(s),{\boldsymbol {n}}_{C}(s),{\boldsymbol {b}}_{C}(s)$都垂直，因此是零向量，矛盾。这种情况下我们就得到了既是某个曲面的曲率线又是渐近线的曲线是平面曲线。

曲率线网

假设没有脐点的曲面$\boldsymbol{r}(u, v)$在定义域$D = \{ (u, v) \}$平面上的曲纹标线族$u = C, v = D, C, D$是常数对应的曲面上的像曲线是曲率线，那么我们就说该像曲线族组成了曲率线网，可以证明，该像曲线族可以组成曲率线网当且仅当$F = M = 0.$此时曲面的两个主曲率$k_1 = \dfrac{L}{E}, k_2 = \dfrac{N}{G}.$

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.