曲率

在几何中，曲率是描述一条曲线弯曲程度的量，曲率越大，曲线越“弯曲”。

概念

分析学定义

设一条可微曲线$l$在其上两点$A, B$之间的弧长为$\Delta s$，点$A$处的切线与点$B$处切线的倾斜角的夹角为$\Delta \varphi$，那么定义

$$\overline{\kappa}_{AB} = \left|\dfrac{\Delta \varphi}{\Delta s}\right|$$

为曲线$l$在这两点$A, B$间的平均曲率。

接下来我们定义一点的曲率：设该可微曲线$l$在其上一点$A$的附近，$\Delta s, \Delta \varphi$如上定义，这两个量都是$A$点附近的一点$B$的函数，进而，如果下述极限存在

$$|\kappa|(A) = \lim_{B \to A} \left|\dfrac{\Delta \varphi}{\Delta s}\right| = \left|\dfrac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} s}\right|$$

我们就称它为曲线$l$在点$A$的绝对曲率。利用分析学手段这样定义出来的曲率之所以称为绝对曲率是因为它始终是非负的。

Frenet 标架定义

假设$n$维 Euclid 空间中有满足如下条件的参数曲线$\boldsymbol{r}(t)$（我们称这样的曲线为正则曲线）：

1. $\boldsymbol{r}(t)$关于$t$的各阶导数存在且连续。
2. $\{ \boldsymbol{r}'(t), \boldsymbol{r}''(t), \cdots, \boldsymbol{r}^{(n-1)}(t) \}$线性无关。

那么它一定存在弧长参数，我们不妨就假设$t$就是它的弧长参数，那么该曲线的 Frenet 标架矩阵$A = (a_{ij}(t))_{n \times n}$是反对称的三对角阵，上次对角线上的元素$a_{i,i+1}$称之为第$i$曲率，$i=1,2,\cdots,n-1.$可以证明其中前$n-2$个曲率都是正的。第一曲率常记作$\kappa(t)$，第二曲率常记作$\tau(t).$

按上述方式定义的三维空间曲线的第二曲率是通常意义下几何中的绝对挠率。另外三维及以上正则曲线的第一曲率都是正的，和分析学定义的绝对曲率一致；而二维曲线的曲率有正负，有时称作相对曲率，它的绝对值便是上述分析学定义的绝对曲率。

曲率圆

假设如上，当$\kappa \ne 0$时，我们可以作一个半径为$\dfrac{1}{|\kappa|}$的圆$C$，且$C$经过$A$，且在点$A$的一个足够小邻域中，$C$的圆弧与$l$的部分弧段在$l$在$A$点处的切线的同侧，我们称$C$为该曲线$l$在点$A$处的曲率圆或密切圆，$\dfrac{1}{|\kappa|}$称为曲率半径。

易知$C$在$A$处的切线恰好就是$l$在$A$处的切线。一条曲线的曲率圆的圆心的轨迹称为该曲线的渐屈线。

计算

二维

设平面曲线$l$二阶可微，且有参数表示$(x(t), y(t))$，那么（相对）曲率

$$\kappa(t) = \dfrac{x'(t) y''(t) - x''(t) y'(t)}{\sqrt{(x'^2(t) + y'^2(t))^3}},$$

当平面曲线是一二阶可微函数$y=f(x)$的图象时

$$\kappa(x) = \dfrac{y''}{\sqrt{(1 + y'^2)^3}},$$

当二阶可微的曲线有极坐标$r = r(\theta)$表示时

$$\kappa(\theta) = \dfrac{r^2 + 2r'^2 - rr''}{\sqrt{(r^2 + r'^2)^3}}.$$

三维

三维空间中一条弧长参数的正则曲线$\boldsymbol{r}(s)$的 Frenet 标架为$\{ \boldsymbol{r}; \boldsymbol{t, n, b}\}$，那么该曲线的曲率和挠率分别为

$$\kappa(s) = |\boldsymbol{t}'(s)|, \quad \tau(s) = (\boldsymbol{n}', \boldsymbol{b}).$$

如果该曲线不是弧长作为参数的正则曲线，假设它的参数为$t$，那么计算公式为

$$\kappa(t) = \dfrac{|\boldsymbol{r}'(t) \times \boldsymbol{r}''(t)|}{|\boldsymbol{r}'(t)|^3}, \quad \tau(t) = \dfrac{(\boldsymbol{r}'(t), \boldsymbol{r}''(t), \boldsymbol{r}'''(t))}{|\boldsymbol{r}'(t) \times \boldsymbol{r}''(t)|^2}$$

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.