集合论中,映射(map)是函数概念的推广,它描述了两个集合之间的关系,如果这两个集合是同一个,那么映射也称作变换(transformation)。
概念[]
设两个非空集合
和
,若存在一个对应关系
,使得对每个
中的元素
,在
中都有唯一一个元素
和它对应,我们称
是
到
的一个映射,记作

第一个式子表示该映射

是从

到

的,第二个表明了

的对应关系。
- 上式中
称为
对应的像(image),
称为
的原像(inverse image);
称为
的定义域(domain of f)或原像集,也记作
;
称作
的值域、到达域(codomain of f)或变程,记作
;
称为
在
下的像集(image set),也记作
;
- 给定一
,符合等式
的所有
称作
在
下的完全原像,记作
。
一般来说,像集和值域并不相等,
,如果
是满射时那这两者是相等的。某个特定的
的完全原像可能并不是唯一的,甚至可能没有。
我们说两个映射
是相等的,是指
将集合
中的元素映作自身的变换称作恒等变换(映射),记作
单射与满射[]
单射[]
若
均有
,则称
是一个单射(injection)或 1-1 的映射。
上述定义等价于:
该式中
是一个集合,
为该集合的元素,这表明对任意的
的完全原像的元素数量不多于一个。
满射[]
若
,使得
,则称
是一个满射(surjection)或到上的映射。
上述定义等价于
也等价于
双射[]
若
既是单射又是满射,就称
是一个双射(bijection),或一一对应。
像与原像的子集[]
假设
且有两族集合
,那么有

当
为单射时相等。




当
为满射时相等。
当
为单射时相等。
映射的复合[]
设
,那么以下这个新映射

就称作

和

的复合,记作

。
该运算满足结合律,即
,但是一般不满足交换律,即一般
假设同上,若
是一单射,则
也是一单射;若
是一满射,则
也是一满射。
显然恒等映射
和任意映射
可交换
这种交换是不指定恒等映射的种类下的。
可逆映射[]
借助复合映射,我们可以得到如下单射和满射的等价命题
是单射,当且仅当存在
,使得
,这时我们称
是
的右逆映射;
是满射,当且仅当存在
,使得
,这是我们称
是
的左逆映射;
是双射,当且仅当存在
,使得
,这是我们称
是
的逆映射。
由上述第三款定义的逆映射当且仅当
是双射时存在,且他和
可交换,我们也将逆映射记作
。
以下这个定理揭示了复合映射的逆的结构问题:
设
,若
都是双射,那么
也是双射,且

变换[]
如果映射
,那么映射
也称作
上的变换。
当
的元素有限(至多可列个)时,可以用下列数表来表示该映射的值

例如,对于一个自然数集的子集
的一个
级排列
(它是由
定义的一个双射)可以表示为

这样的一个变换称为一个

次
置换(permutation of degree n)。