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集合论中,映射(map)是函数概念的推广,它描述了两个集合之间的关系,如果这两个集合是同一个,那么映射也称作变换(transformation)。

概念[]

设两个非空集合,若存在一个对应关系,使得对每个中的元素,在中都有唯一一个元素和它对应,我们称的一个映射,记作

第一个式子表示该映射是从的,第二个表明了的对应关系。

  • 上式中称为对应的像(image),称为的原像(inverse image);
  • 称为定义域(domain of f)或原像集,也记作;
  • 称作值域到达域(codomain of f)或变程,记作
  • 称为下的像集(image set),也记作
  • 给定一,符合等式的所有称作下的完全原像,记作

一般来说,像集和值域并不相等,,如果是满射时那这两者是相等的。某个特定的的完全原像可能并不是唯一的,甚至可能没有。

我们说两个映射是相等的,是指

将集合中的元素映作自身的变换称作恒等变换(映射),记作

单射与满射[]

单射[]

均有,则称是一个单射(injection)或 1-1 的映射。

上述定义等价于:该式中是一个集合,为该集合的元素,这表明对任意的的完全原像的元素数量不多于一个。

满射[]

,使得,则称是一个满射(surjection)或到上的映射。

上述定义等价于也等价于

双射[]

既是单射又是满射,就称是一个双射(bijection),或一一对应。

像与原像的子集[]

假设且有两族集合,那么有

  1. 为单射时相等。
  2. 为满射时相等。
  3. 为单射时相等。

映射的复合[]

,那么以下这个新映射

就称作的复合,记作

该运算满足结合律,即,但是一般不满足交换律,即一般

假设同上,若是一单射,则也是一单射;若是一满射,则也是一满射。

显然恒等映射和任意映射可交换这种交换是不指定恒等映射的种类下的。

可逆映射[]

借助复合映射,我们可以得到如下单射和满射的等价命题

  1. 是单射,当且仅当存在,使得,这时我们称的右逆映射;
  2. 是满射,当且仅当存在,使得,这是我们称的左逆映射;
  3. 是双射,当且仅当存在,使得,这是我们称的逆映射。

由上述第三款定义的逆映射当且仅当是双射时存在,且他和可交换,我们也将逆映射记作

以下这个定理揭示了复合映射的逆的结构问题:
,若都是双射,那么也是双射,且

变换[]

如果映射,那么映射也称作上的变换

的元素有限(至多可列个)时,可以用下列数表来表示该映射的值

例如,对于一个自然数集的子集的一个级排列(它是由定义的一个双射)可以表示为

这样的一个变换称为一个置换(permutation of degree n)。

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