星叶线族

几何中的星叶线是由极坐标定义的和正弦函数有关的曲线，其特例心脏线为人熟知。设常数$R, k > 0$，那么极坐标方程 $$r=R+\sin k\theta ,\theta \in [0,2\pi )$$ 就表示一条星叶线，其中$R$称为径参数，$k$称为率参数，这两者是形状参数，它还可以添加一个尺度参数$a>0$，成为 $$r = a(R + \sin k \theta), \theta \in [0, 2\pi).$$

#A1在直角坐标下的参数表示为 $$\begin{cases} x = (R + \sin k \theta) \cos \theta, \\ y = (R + \sin k \theta) \sin \theta. \end{cases}$$ 上述参数$\theta$恰好选择的就是极角。

率参数为整数时，揭示了图象有$k$片“叶”，如下图为率参数变动时的动态图像：

径参数揭示了该图形有一个“基圆”$r=R$，如图中的红色虚线部分。

实际上，该图的灵感来源于正弦函数的图像——它在以$x$轴为基线绘制出来的，如果选择圆为基线，便会得到星叶线。当$0 < R < 1$的时候，图象会出现“反绘制”现象。

当$k$为整数时，星叶线是闭合的中心对称图形，有$k-$轮换性质。