无穷限积分

无穷限积分是 Riemann 积分的一种推广，Riemann 积分总是要求可积函数有界，且积分区间有界。但在实际中往往要突破这两个限制，故推广出两种反常积分（improper integral，又叫广义积分）：无穷限积分和瑕积分。

概念

设函数$f(x)$在区间$[a, +\infty)$上有定义，且对任意的$A > a$，函数$f(x)$在区间$[a, A]$上可积，如果极限

$$\lim_{A \to +\infty} \int_a^A f(x) \mathrm{d}x$$

存在，就称这个极限值是$f(x)$在区间$[a, +\infty)$上的反常积分的积分值，称这个积分是无穷限的反常积分，简称无穷限积分。

我们用下面的记号来表示这个积分值，如果积分值存在，称这个反常积分（记号）收敛，否则称发散。

$$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{A \to +\infty} \int_a^A f(x) \mathrm{d}x$$

同样，我们可以定义区间$(-\infty, a]$上的无穷限积分的概念，只需稍加改写上述定义和记号即可。

对于区间$(- \infty, + \infty)$上的无穷限积分，任意选取一个数$a \in \R$，分别考虑$\int_{-\infty}^a f(x) \mathrm{d}x$和$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$。如果两者都收敛，就称记号有意义，且它的值

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \int_{-\infty}^a f(x) \mathrm{d}x + \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$$

可以证明，积分的值和敛散性与数$a$的选取无关。但要注意，它写成极限形式是

$$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{\begin{array}{c}A_{1}\to -\infty \\A_{2}\to +\infty \end{array}}\int _{A_{1}}^{A_{2}}f(x)\mathrm {d} x$$

式子中的$A_1$和$A_2$是无关的量，切不可理解为$\lim_{A_1 \to +\infty} \int_{-A_1}^{A_1} f(x) \mathrm{d}x$

性质

对于定积分成立的性质（可加性、线性性等）以及分部积分法、换元积分法，对无穷限积分依旧成立。这里以无穷上限积分为例。

1. 线性性：$\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \int_a^{+\infty} \big( \alpha f(x)+\beta g(x) \big) \mathrm{d}x = \alpha \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x + \beta \int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x$
2. 分部积分公式：设$u(x), v(x), u'(x), v'(x)$在$[a, +\infty)$上连续，那么下式中只要其中两项有意义，那么第三项也有意义。
   $$\int_a^{+\infty} v(x) \mathrm{d}u(x) = u(x) v(x) \Bigg|_a^{+\infty} - \int_a^{+\infty} u(x) \mathrm{d}v(x)$$
   此时，第二项的上限应理解为这个式子在正无穷处的极限，该式有意义即上限的极限存在。
3. 换元积分公式：设$f(x), x = \varphi(t), \varphi'(t)$均连续，$x = \varphi(t)$具有严格单调性，且$\varphi(\alpha) = a, \lim_{t \to \beta}\varphi(t) = +\infty$，则有
   $$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t) \mathrm{d}t.$$

积分收敛

Cauchy 收敛准则

以无穷上限积分为例，$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$收敛的充要条件是对任意的$\varepsilon > 0$，存在$A > 0$，当$A_1, A_2 > A$时，有

$$\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x) \mathrm{d}x \right| < \varepsilon.$$

条件收敛和绝对收敛

对任意的$A > a$，函数$f(x)$在区间$[a, +\infty)$上可积，积分$\int_a^{+\infty} |f(x)| \mathrm{d}x$收敛，那么就称$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$绝对收敛，如果$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$本身收敛但$\int_a^{+\infty} |f(x)| \mathrm{d}x$发散，就称$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$条件收敛。

可以证明：绝对收敛的积分一定收敛，但反之未必。对于保号的无穷限积分来说，绝对收敛和条件收敛是一样的。可以找到收敛但不绝对收敛的例子。

敛散性判别法

判断一个无穷限积分是否收敛，通常有以下做法，这些方法在瑕积分、无穷级数中也有体现。

比较判别法

仍以$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$为例，对于充分大的$x > a$，如果有$|f(x)| \leqslant g(x)$，那么由$\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x$收敛可推出$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$绝对收敛；

对于充分大的$x > a$，如果有$f(x) \geqslant g(x) \geqslant 0$，那么由$\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x$发散可推出$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$也发散。

极限形式

设$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{|f(x)|}{g(x)} = k$，如果$0 \leqslant k < + \infty$，那么由$\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x$收敛可推出$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$绝对收敛；如果$0 < k \leqslant + \infty$，那么由$\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x$发散可推出$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$发散。

一般用该方法时还可直接找等价量，如果$f(x) \sim g(x), x \to + \infty$，那么积分$\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d}x$和$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$同收敛或发散。

Cauchy 判别法

如果在比较判别法中令$g(x) = \dfrac{c}{x^p}, c > 0$，就得到 Cauchy 判别法：在$x$充分大的时候，

1. 如果$|f(x)| \leqslant \dfrac{c}{x^p}, p > 1$，那么$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$绝对收敛。
2. 如果$|f(x)| \geqslant \dfrac{c}{x^p}, p \leqslant 1$，那么$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$发散。

同样像比较判别法那样，Cauchy 判别法也有极限形式。

下面两个判别法适用于被积函数是乘积形式，证明由积分第二中值定理给出。

Dirichlet 判别法

若对任何$x > a$，变上限积分$\int_a^x f(t) \mathrm{d}t$有界，且$g(x)$单调趋于零，那么积分$\int_a^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d}x$收敛。

Abel 判别法

该判别法是 Dirichlet 判别法的等价形式，是将 Dirichlet 判别法的第一个条件加强，第二个条件减弱得到的。

它是说：如果$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x$收敛且$g(x)$单调有界，那么积分$\int_a^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d}x$收敛。

Cauchy 主值

对于无穷上下限积分（不论其是否收敛），如果下式的极限存在，就把这个极限值称为该无穷限积分的 Cauchy 主值（Cauchy principal value），它反映了对函数趋向正负无穷两极的敛散速度比较。

$$\text{P.V.} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x := \lim_{A \to +\infty} \int_{-A}^{A} f(x) \mathrm{d}x$$

柯西主值存在，积分不一定收敛，但是无穷上下限积分收敛一定存在柯西主值（为什么？）；对于保号函数的无穷上下限积分，积分收敛当且仅当柯西主值存在，且积分收敛的值就是柯西主值。

上下节

• 上一节：积分第二中值定理
• 下一节：瑕积分

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.