无穷限积分是 Riemann 积分的一种推广,Riemann 积分总是要求可积函数有界,且积分区间有界。但在实际中往往要突破这两个限制,故推广出两种反常积分(improper integral,又叫广义积分):无穷限积分和瑕积分。
概念[]
设函数
在区间
上有定义,且对任意的
,函数
在区间
上可积,如果极限

存在,就称这个极限值是

在区间

上的反常积分的积分值,称这个积分是无穷限的反常积分,简称无穷限积分。
我们用下面的记号来表示这个积分值,如果积分值存在,称这个反常积分(记号)收敛,否则称发散。

同样,我们可以定义区间
![{\displaystyle (-\infty ,a]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/a3908adab6042e5aea0e813a7b5a93a87ba11574)
上的无穷限积分的概念,只需稍加改写上述定义和记号即可。
对于区间
上的无穷限积分,任意选取一个数
,分别考虑
和
。如果两者都收敛,就称记号有意义,且它的值

可以证明,积分的值和敛散性与数

的选取无关。但要注意,它写成极限形式是

式子中的

和

是无关的量,切不可理解为
性质[]
对于定积分成立的性质(可加性、线性性等)以及分部积分法、换元积分法,对无穷限积分依旧成立。这里以无穷上限积分为例。
- 线性性:

- 分部积分公式:设
在
上连续,那么下式中只要其中两项有意义,那么第三项也有意义。
此时,第二项的上限应理解为这个式子在正无穷处的极限,该式有意义即上限的极限存在。
- 换元积分公式:设
均连续,
具有严格单调性,且
,则有
积分收敛[]
以无穷上限积分为例,
收敛的充要条件是对任意的
,存在
,当
时,有

条件收敛和绝对收敛[]
对任意的
,函数
在区间
上可积,积分
收敛,那么就称
绝对收敛,如果
本身收敛但
发散,就称
条件收敛。
可以证明:绝对收敛的积分一定收敛,但反之未必。对于保号的无穷限积分来说,绝对收敛和条件收敛是一样的。可以找到收敛但不绝对收敛的例子。
敛散性判别法[]
判断一个无穷限积分是否收敛,通常有以下做法,这些方法在瑕积分、无穷级数中也有体现。
比较判别法[]
仍以
为例,对于充分大的
,如果有
,那么由
收敛可推出
绝对收敛;
对于充分大的
,如果有
,那么由
发散可推出
也发散。
极限形式[]
设
,如果
,那么由
收敛可推出
绝对收敛;如果
,那么由
发散可推出
发散。
一般用该方法时还可直接找等价量,如果
,那么积分
和
同收敛或发散。
如果在比较判别法中令
,就得到 Cauchy 判别法:在
充分大的时候,
- 如果
,那么
绝对收敛。
- 如果
,那么
发散。
同样像比较判别法那样,Cauchy 判别法也有极限形式。
下面两个判别法适用于被积函数是乘积形式,证明由积分第二中值定理给出。
若对任何
,变上限积分
有界,且
单调趋于零,那么积分
收敛。
该判别法是 Dirichlet 判别法的等价形式,是将 Dirichlet 判别法的第一个条件加强,第二个条件减弱得到的。
它是说:如果
收敛且
单调有界,那么积分
收敛。
对于无穷上下限积分(不论其是否收敛),如果下式的极限存在,就把这个极限值称为该无穷限积分的 Cauchy 主值(Cauchy principal value),它反映了对函数趋向正负无穷两极的敛散速度比较。

柯西主值存在,积分不一定收敛,但是无穷上下限积分收敛一定存在柯西主值(为什么?);对于保号函数的无穷上下限积分,积分收敛当且仅当柯西主值存在,且积分收敛的值就是柯西主值。
上下节[]
参考资料