无穷小量

无穷小量是数学分析中的一个概念，用以严格地定义“绝对值比任何正数都要小的量”。无穷小量是一个变量，并不是通常意义上“很小的量”。

无穷小数列

如果一个数列$\{ a_n \}$的极限是$0$，那么我们就说这个数列是无穷小数列，也就是数列上的无穷小量。即称$\{ a_n \}$为无穷小量，如果$\lim _{n \to \infty} a_n = 0.$ 展开例子折叠例子$\{ \dfrac{1}{n} \}$是一个无穷小数列。 任何一个以$a$为极限的收敛数列$\{ a_n \}$都可以变形为$\lim _{n \to \infty} (a_n - a) = 0$，所以$\{ a_n - a \}$也是无穷小量。

函数的无穷小概念

类似地，我们可以给出六种函数极限过程的无穷小量定义，这里以$x \to x_0$为例：
定义在$x_0$的某个去心邻域上的函数$f(x)$，如果有$\lim _{x \to x_0} f(x) = 0$，就称函数$f(x)$为$x \to x_0$时的无穷小量。 展开例子折叠例子$f(x) = 1 - \cos x$是$x \to 0$的无穷小量 由于函数的无穷小量受极限过程（包括趋近点）（对于数列而言，只有$n \to (+)\infty$一种情况）的影响，因此我们把极限过程相同的无穷小量称为同类型的，不同类型的无穷小量不能进行相互运算。

无穷小量的性质

通过数列和函数的运算性质，可以得到

1. 无穷小量是有界量；
2. 同类型的无穷小量与无穷小量的和差都是无穷小量；
3. 同类型的无穷小量和无穷小量的乘积也是无穷小量；
4. 无穷小量和有界量的乘积也是无穷小量。

特别地，对于无穷小数列，由数列的性质，我们还有：

1. 改变一个无穷小数列中的某有限项之后得到的仍是无穷小量；
2. 改变一个无穷小量数列中的项的次序，得到的新数列仍是无穷小量；
3. 若$\{ a_n \}$是无穷小量，且$| b_n | \leqslant | a_n |$，则$\{ b_n \}$也是无穷小量。

无穷小量的阶

无穷小量都收敛到零，但收敛速度不同，为了描述这种速度，我们引入阶的概念，需要注意的是这里的“阶”是相对概念（之后的“阶数也是如此”），必须要有比较对象，一个无穷小量的阶才有意义。 这里以函数的$x \to x_0$这一极限过程为例，设$f(x), g(x)$为 $x \to x_0$的无穷小量。

高（低）阶无穷小量

如果$\lim _{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$，则称当$x \to x_0$时$f(x)$为$g(x)$的高阶无穷小量，同时称$g(x)$为$f(x)$的低阶无穷小量，记作

$$f(x) = o(g(x))~(x \to x_0).$$

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$f(x) = x^\alpha, g(x) = x^\beta$在$x \to 0$时

1. $f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小量当且仅当$\alpha > \beta > 0$;
2. $f(x)$是$g(x)$的低阶无穷小量当且仅当$\beta > \alpha > 0$;
3. $f(x)$是$g(x)$的同阶无穷小量当且仅当$\alpha = \beta > 0$.

特别地，由于$x \to x_0$的无穷小量$f(x)$满足$\lim _{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{1} = 0$，所以也记无穷小量$o(1)~(x \to x_0).$

同阶无穷小量

若存在$A, B \in \mathbb{N^{+}}$，使得在$U(x_{0})\cap D(g)$上有$A \leqslant \left| \dfrac{f(x)}{g(x)} \right| \leqslant B$，我们称$g(x)$与$f(x)$互为同阶无穷小量，记作

$$f(x) = O(g(x))~(x \to x_0).$$

特别地，$\lim _{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = k \ne 0$时，$g(x)$与$f(x)$互为同阶无穷小量。由于$f(x) = \dfrac{f(x)}{1}$，所以也记有界量为$O(1)~(x \to x_0).$

等价无穷小量

如果$\lim _{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$时，$g(x)$与$f(x)$互等价无穷小量，记作

$$f(x) \sim g(x)~(x \to x_0).$$

可以知道，等价无穷小量也是同阶无穷小量的一种。

无穷小量的阶数

如果$g(x)$为多项式函数且$\partial g(x) = n$，$f(x)$时，$f(x)$与$g(x)$互为同阶无穷小量，那么称函数$f(x)$的阶数是$n$。

并不是所有的无穷小量都有阶数，同样并不是所有的无穷小量都可比较阶的大小。

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1. $f(x) = \text{e}^{-x}$在$x\to +\infty$时的阶数比任意有限数都大，因此不存在有限的阶；
2. $f(x) = x \sin{\dfrac{1}{x}}$在$x \to 0$是没有阶的无穷小量，它的阶也不是无穷，它和$g(x) = x$在$x \to 0$处无法比较阶。

等价无穷小运算

这里以函数的$x \to x_0$这一极限过程为例，设$f(x) \sim g(x)$则有：

1. 若$\lim _{x \to x_0} g(x)h(x) = M$，则$\lim _{x \to x_0} f(x)h(x) = M$；
2. 若$\lim _{x \to x_0} \dfrac{g(x)}{h(x)} = N$，则$\lim _{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{h(x)} = N$.

根据这个性质，可以将求极限问题中的极限式中整体乘除的因子做代换，换做简单的因式再求解，但要注意加减的时候不能随意代换（因为没有理论依据）。

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加减不能随意代换的例子：

1. $\lim_{x \to 0} \dfrac{x - \sin x}{x^3} = \dfrac{1}{6}$，若代换$x \sim \sin x$会导致得到极限为无穷的不正确结果，实际上分子的阶数为三阶。
2. 数列形式的例子：$\lim_{n \to \infty} n^2 \left( \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1} \right) = 1$中也不能将$\dfrac{1}{n}$代换为$\dfrac{1}{n+1}.$

一般来说，在等价代换时结果出现0或无穷时需要注意是否代换过于贸然。

等价无穷小代换

当$x \to 0$时有一些很好用的等价代换，在求解极限问题中可以很方便地使用。

1. $\sin x \sim x \sim \tan x$；
2. $\arctan x \sim x \sim \arcsin x$；
3. $1 - \cos x \sim \dfrac{1}{2}x^2$；
4. $\ln (1 + x) \sim x \sim \text{e}^x - 1$；
5. $\log_a (1 + x) \sim \dfrac{x}{\ln a}$；
6. $a^x - 1 \sim x \ln a$；
7. $(1 + x)^{\alpha} - 1 \sim \alpha x$。

二级推导（以下的部分可使用多次等价代换（1-2）或 Taylor 公式（3-5）证得）：

1. $\ln (x + \sqrt{1 + x^2}) \sim x$；
2. $(1+x)^{x}-1\sim x^{2}$；
3. $x - \sin x \sim \dfrac{1}{6} x^3 \sim \arcsin x - x$；
4. $\tan x - x \sim \dfrac{1}{3} x^3 \sim x - \arctan x$；
5. $\tan x - \sin x \sim \dfrac{1}{2} x^3$。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.