无穷大量是数学分析中的一个概念,用以严格地定义“绝对值比任何数都大的量”。通常用符号
表示,无穷大量是一个变量,并不是通常意义上“很大的量”。
无穷大数列[]
和无穷小量一样,它也可从数列极限和函数的六种极限过程中定义,通俗的讲,就是变量在极限过程中并不会趋近于某个数,而是无限制的增大或减小下去,例如对于数列用数学语言来说就是:
,当
时有
我们就记
,注意这种只是记号,为了和收敛数列的极限是有限数形式表述统一,我们有时候甚至也说“数列
的极限是
”,但这只是表述方便,实际上原数列是发散的。
展开例子折叠例子
是数列的无穷大量。
同样,由于无穷有正无穷和负无穷之分,数列的无穷大还有另外两种形式:
- 正无穷大量:
,当
时有
记
;
- 负无穷大量:
,当
时有
记
。
和
统称为非正常极限,这是为了和一般收敛数列的极限统一表述,而收敛数列的极限的数值也叫有限数。
函数的无穷大[]
类似地,我们可以给出函数极限无穷大的定义,这里以
极限过程为例说明:
- 定义在
的去心邻域上的函数
,如果
,当
时有
,则称函数
在
时趋近于无穷,记
;
- 定义在
的去心邻域上的函数
,如果
,当
时有
,则称函数
在
时趋近于正无穷,记
;
- 定义在
的去心邻域上的函数
,如果
,当
时有
,则称函数
在
时趋近于负无穷,记
。
无穷大量的性质[]
- 无穷大量是无界量;
- 无穷大量和有界量的和差仍是无穷大量;
- 同号的无穷大量之和仍是同号的无穷大量;
- 如果数列
是无穷大量,
,则
也是无穷大量。
- 如果数列
是无穷大量,且有另一数列
满足
当
时有
,则
也是无穷大量。
- 如果数列
是无穷大量,且有另一数列
满足
,则
也是无穷大量。
需要注意,无界量不一定是无穷大量。
展开例子折叠例子
是震荡数列,是无界量但不是无穷大量;
是
的无界震荡量,不是无穷大量。
无穷大量和有界量相乘可能不是无穷大量。
展开例子折叠例子
和
相乘得到1.
无穷大量的阶[]
如同无穷小量一样,无穷大量也可以进行阶的比较,但我们一般不说某个无穷大量的阶数。这里以函数的
这一极限过程为例,设
为
的无穷大量。和无穷小量一样,阶的概念并不一定对所有无穷大量都存在。
如果
,则称当
时
为
的高阶无穷大量,同时称
为
的低阶无穷大量。若存在
,使得在
上有
,我们称
与
互为同阶无穷大量。
常用的无穷大量阶次链:

其中,
无穷大量与无穷小量的关系[]
设定义在

上的函数

。若其满足

,则有

;若其满足

,则有

这个结论对函数的其它极限过程以及数列极限过程都是成立的,由此我们就可以把无穷大量的问题转化成无穷小量的问题处理。
无穷小量的倒数不一定是无穷大量。
展开例子折叠例子
在
是无穷小量,但它的倒数却是震荡量而非无穷大量。
参考资料