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无穷大量数学分析中的一个概念,用以严格地定义“绝对值比任何数都大的量”。通常用符号表示,无穷大量是一个变量,并不是通常意义上“很大的量”。

无穷大数列[]

和无穷小量一样,它也可从数列极限和函数的六种极限过程中定义,通俗的讲,就是变量在极限过程中并不会趋近于某个数,而是无限制的增大或减小下去,例如对于数列用数学语言来说就是:,当时有我们就记,注意这种只是记号,为了和收敛数列的极限是有限数形式表述统一,我们有时候甚至也说“数列的极限是”,但这只是表述方便,实际上原数列是发散的。 展开例子折叠例子是数列的无穷大量。 同样,由于无穷有正无穷和负无穷之分,数列的无穷大还有另外两种形式:

  1. 正无穷大量:,当时有
  2. 负无穷大量:,当时有

统称为非正常极限,这是为了和一般收敛数列的极限统一表述,而收敛数列的极限的数值也叫有限数

函数的无穷大[]

类似地,我们可以给出函数极限无穷大的定义,这里以极限过程为例说明:

  1. 定义在的去心邻域上的函数,如果,当时有,则称函数时趋近于无穷,记
  2. 定义在的去心邻域上的函数,如果,当时有,则称函数时趋近于正无穷,记
  3. 定义在的去心邻域上的函数,如果,当时有,则称函数时趋近于负无穷,记

无穷大量的性质[]

  1. 无穷大量是无界量;
  2. 无穷大量和有界量的和差仍是无穷大量;
  3. 同号的无穷大量之和仍是同号的无穷大量;
  4. 如果数列是无穷大量,,则也是无穷大量。
  5. 如果数列是无穷大量,且有另一数列满足时有,则也是无穷大量。
  6. 如果数列是无穷大量,且有另一数列满足,则也是无穷大量。

需要注意,无界量不一定是无穷大量。

展开例子折叠例子

  1. 是震荡数列,是无界量但不是无穷大量;
  2. 的无界震荡量,不是无穷大量。

无穷大量和有界量相乘可能不是无穷大量。 展开例子折叠例子相乘得到1.

无穷大量的阶[]

如同无穷小量一样,无穷大量也可以进行阶的比较,但我们一般不说某个无穷大量的阶数。这里以函数的这一极限过程为例,设的无穷大量。和无穷小量一样,阶的概念并不一定对所有无穷大量都存在。

如果,则称当高阶无穷大量,同时称低阶无穷大量。若存在,使得在上有,我们称互为同阶无穷大量

常用的无穷大量阶次链:

其中,

无穷大量与无穷小量的关系[]

设定义在上的函数。若其满足,则有;若其满足,则有

这个结论对函数的其它极限过程以及数列极限过程都是成立的,由此我们就可以把无穷大量的问题转化成无穷小量的问题处理。

无穷小量的倒数不一定是无穷大量。 展开例子折叠例子是无穷小量,但它的倒数却是震荡量而非无穷大量。

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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