旋轉面

三維空間中的旋轉曲面（Surface of revolution）又稱旋轉面，是一條曲線繞着一條直線旋轉所得的曲面。

概念

一條曲線$\mathit{\Gamma}$繞着一條直線$l$旋轉，得到旋轉面，其中$\mathit{\Gamma}$稱為這個旋轉面的軸（axis），直線$l$稱為母線（generatrix）。

母線$l$上每一點$P_0$都經過旋轉繞出一個與軸$\mathit{\Gamma}$垂直的圓，這些圓稱為緯圓；過$l$的半平面與旋轉面的交線稱為經線，或子午線，經線可以作為母線，但母線未必是經線。

方程

已知軸$l$的方向向量$\vec{v} = {(a, b, c)}^{\operatorname{T}}$及其上一點$P_1 {(x_1, y_1, z_1)}^{\operatorname{T}}$，母線$\mathit{\Gamma}: \begin{cases} F(x, y, z) = 0, \\ G(x, y, z) = 0. \end{cases}$ 點$P {(x, y, z)}^{\operatorname{T}}$在旋轉面上等價於$P$在某一條緯圓上，不妨假定$P$和$P_1 {(x_1, y_1, z_1)}^{\operatorname{T}}$在同一條緯圓上，則兩點到母線的距離相等，即有$\dfrac{|\overrightarrow{P_1 P} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|} = \dfrac{|\overrightarrow{P_1 P_0} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$, 即$|\overrightarrow{P_1 P} \times \vec{v}| = |\overrightarrow{P_1 P_0} \times \vec{v}|$；並且$\overrightarrow{P P_0} \bot l$。於是有 $$\begin{cases} F(x_0, y_0, z_0) = 0, \\ G(x_0, y_0, z_0) = 0, \\ |\overrightarrow{P_1 P} \times \vec{v}| = |\overrightarrow{P_1 P_0} \times \vec{v}|, \\ a (x - x_0) + b (y - y_0) + c (z - z_0) = 0 \end{cases}$$ 這是含參數$x_0, y_0$以及$z_0$的旋轉面的參數方程，消去三個參數就是所求旋轉面的方程。

特殊情形

平面曲線繞坐標軸旋轉

現在考慮旋轉軸是坐標軸的情形，不妨考慮平面$Oxy$上的曲線$F(x, y) = 0$繞$y$軸旋轉，即母線$$\mathit{\Gamma}: \begin{cases} F(x, y) = 0, \\ z = 0. \end{cases}$$ 設母線$\mathit{\Gamma}$上一點$P_0 {(x_0, y_0, z_0)}^{\operatorname{T}}$，即有 $$\begin{cases} F(x_0, y_0) = 0, \\ z_0 = 0, \\ x^2 + z^2 = x_0^2 + z_0^2, \\ 1 \cdot (y - y_0) = 0. \end{cases}$$ 消去參數，得到 $$F(\pm \sqrt{x^2 + z^2}, y) = 0$$ 這表明：對於平面$Oxy$上的曲線$F(x, y) = 0$繞$y$軸旋轉，只需將$x$換成$\pm \sqrt{x^2 + z^2}$並保持旋轉軸$y$軸坐標不變即可，其餘的旋轉情況類似。

平面上的二次曲線旋轉後將會得到二次曲面。環面是平面中的圓繞圓外一條直線旋轉得到的，它是四次曲面。

空間曲線繞坐標軸旋轉

假設$l: (x(u), y(u), z(u))$是三維空間中的曲線，那麼它繞着三個坐標軸旋轉得到的旋轉面方程為

旋轉軸	旋轉面參數方程
x軸	$\begin{cases} x = x(u), \\ y = y(u) \cos v - z(u) \sin v, \\ z = y(u) \sin v + z(u) \cos v. \end{cases}$
y軸	$\begin{cases} x = x(u) \cos v + z(u) \sin v, \\ y = y(u), \\ z = - x(u) \sin v + z(u) \cos v. \end{cases}$
z軸	$\begin{cases} x = x(u) \cos v - y(u) \sin v, \\ y = x(u) \sin v + y(u) \cos v, \\ z = z(u). \end{cases}$