三维空间中的旋转曲面(Surface of revolution)又称旋转面,是一条曲线绕着一条直线旋转所得的曲面。
概念[]
一条曲线
绕着一条直线
旋转,得到旋转面,其中
称为这个旋转面的轴(axis),直线
称为母线(generatrix)。
母线
上每一点
都经过旋转绕出一个与轴
垂直的圆,这些圆称为纬圆;过
的半平面与旋转面的交线称为经线,或子午线,经线可以作为母线,但母线未必是经线。
方程[]
已知轴
的方向向量
及其上一点
,母线
点
在旋转面上等价于
在某一条纬圆上,不妨假定
和
在同一条纬圆上,则两点到母线的距离相等,即有
, 即
;并且
。于是有

这是含参数

以及

的旋转面的参数方程,消去三个参数就是所求旋转面的方程。
特殊情形[]
平面曲线绕坐标轴旋转[]
现在考虑旋转轴是坐标轴的情形,不妨考虑平面
上的曲线
绕
轴旋转,即母线

设母线

上一点

,即有

消去参数,得到

这表明:对于平面

上的曲线

绕

轴旋转,只需将

换成

并保持旋转轴

轴坐标不变即可,其余的旋转情况类似。
平面上的二次曲线旋转后将会得到二次曲面。环面是平面中的圆绕圆外一条直线旋转得到的,它是四次曲面。
空间曲线绕坐标轴旋转[]
假设
是三维空间中的曲线,那么它绕着三个坐标轴旋转得到的旋转面方程为
旋转轴
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旋转面参数方程
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x轴
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y轴
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z轴
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