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三维空间中的旋转曲面(Surface of revolution)又称旋转面,是一条曲线绕着一条直线旋转所得的曲面

概念[]

一条曲线绕着一条直线旋转,得到旋转面,其中称为这个旋转面的(axis),直线称为母线(generatrix)。

母线上每一点都经过旋转绕出一个与轴垂直的圆,这些圆称为纬圆;过的半平面与旋转面的交线称为经线,或子午线,经线可以作为母线,但母线未必是经线。

方程[]

已知轴的方向向量及其上一点,母线在旋转面上等价于在某一条纬圆上,不妨假定在同一条纬圆上,则两点到母线的距离相等,即有, 即;并且。于是有

这是含参数以及的旋转面的参数方程,消去三个参数就是所求旋转面的方程。

特殊情形[]

平面曲线绕坐标轴旋转[]

现在考虑旋转轴是坐标轴的情形,不妨考虑平面上的曲线轴旋转,即母线

设母线上一点,即有
消去参数,得到
这表明:对于平面上的曲线轴旋转,只需将换成并保持旋转轴轴坐标不变即可,其余的旋转情况类似。

平面上的二次曲线旋转后将会得到二次曲面。环面是平面中的圆绕圆外一条直线旋转得到的,它是四次曲面。

空间曲线绕坐标轴旋转[]

假设是三维空间中的曲线,那么它绕着三个坐标轴旋转得到的旋转面方程为

旋转轴 旋转面参数方程
x轴
y轴
z轴
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