旋轉指數定理

旋轉指數定理是有關平面曲線的切線的一個定理。

閉曲線

我們稱區間$[0, l]$上的一條平面光滑曲線$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)$是閉曲線，是指$\boldsymbol{r}^{(k)}(0) = \boldsymbol{r}^{(k)}(l).$這等價於$\boldsymbol{r}$是周期為$l$的光滑映射。

特別地，如果該曲線上沒有重點（即$\forall x, y \in [0, l), x \ne y, \boldsymbol{r}(x) \ne \boldsymbol{r}(y)$），我們就稱其為簡單閉曲線。

旋轉指數

假設$\boldsymbol{r}(s), s \in [0, l]$是平面閉曲線，$\kappa(s)$是它的曲率，我們定義 $$i = \dfrac{1}{2\pi} \int_0^l \kappa(s) \mathrm{d}s.$$ 為$\boldsymbol{r}$的旋轉指數。

定理內容

平面閉曲線的旋轉指數是$\pm 1$，這就是旋轉指數定理。

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.