旋转指数定理

旋转指数定理是有关平面曲线的切线的一个定理。

闭曲线

我们称区间$[0, l]$上的一条平面光滑曲线$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)$是闭曲线，是指$\boldsymbol{r}^{(k)}(0) = \boldsymbol{r}^{(k)}(l).$这等价于$\boldsymbol{r}$是周期为$l$的光滑映射。

特别地，如果该曲线上没有重点（即$\forall x, y \in [0, l), x \ne y, \boldsymbol{r}(x) \ne \boldsymbol{r}(y)$），我们就称其为简单闭曲线。

旋转指数

假设$\boldsymbol{r}(s), s \in [0, l]$是平面闭曲线，$\kappa(s)$是它的曲率，我们定义

$$i = \dfrac{1}{2\pi} \int_0^l \kappa(s) \mathrm{d}s.$$

为$\boldsymbol{r}$的旋转指数。

定理内容

平面闭曲线的旋转指数是$\pm 1$，这就是旋转指数定理。

参考资料

1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.