旋度

在场论中，旋度（rotation）是描述一个向量场涡旋程度的量，是一个向量，与坐标系的选取无关。旋度是采用一个向量场来描述一个向量场的方法。

概念

设空间区域$\mathit{\Omega}$上的一个三维向量场$\boldsymbol{F}$，点$M_0 \in \mathit{\Omega}$，在该点处存在一个向量$\textbf{rot} \boldsymbol{F}$，使得在点$M_0$处沿该方向的方向旋量的模长最大，则称该向量$\textbf{rot} \boldsymbol{F}$为向量场$\boldsymbol{F}$在点$M_0$处的旋度。

旋度是一个向量，它在空间区域$\mathit{\Omega}$上也确定了一个向量场，我们称其为向量场$\boldsymbol{F}$的旋度场$\textbf{rot} \boldsymbol{F}.$

计算公式

旋度依据定义不易计算，通常选择一个坐标系进行计算，例如在直角坐标系中，设$\boldsymbol{F} = P(x, y, z) \boldsymbol{i} + Q(x, y, z) \boldsymbol{j} + R(x, y, z) \boldsymbol{k}$，那么

$$\textbf{rot} \boldsymbol{F} = \left( \dfrac{\partial R}{\partial y} - \dfrac{\partial Q}{\partial z} \right) \boldsymbol{i} + \left( \dfrac{\partial P}{\partial z} - \dfrac{\partial R}{\partial x} \right) \boldsymbol{j} + \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \boldsymbol{k}.$$

在柱坐标系中，设$\boldsymbol{F} = P(\rho, \varphi, z) \boldsymbol{e}_\rho + Q(\rho, \varphi, z) \boldsymbol{e}_\varphi + R(\rho, \varphi, z) \boldsymbol{k}$，那么

$$\textbf{rot} \boldsymbol{F} = \left( \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial R}{\partial \varphi} - \dfrac{\partial Q}{\partial z} \right) \boldsymbol{e}_\rho + \left( \dfrac{\partial P}{\partial z} - \dfrac{\partial R}{\partial \rho} \right) \boldsymbol{e}_\varphi + \dfrac{1}{\rho} \left[ \dfrac{\partial (\rho Q)}{\partial \rho} - \dfrac{\partial P}{\partial \varphi} \right] \boldsymbol{k}.$$

在球坐标系中，设$\boldsymbol{F} = P(r, \theta, \varphi) \boldsymbol{e}_r + Q(r, \theta, \varphi) \boldsymbol{e}_\theta + R(r, \theta, \varphi) \boldsymbol{e}_\varphi$，那么

$$\textbf{rot} \boldsymbol{F} = \dfrac{1}{r \sin \theta} \left[ \dfrac{\partial (R \sin \theta)}{\partial \theta} - \dfrac{\partial Q}{\partial \varphi} \right] \boldsymbol{e}_r + \dfrac{1}{r} \left[ \dfrac{1}{\sin \theta} \dfrac{\partial P}{\partial \varphi} - \dfrac{\partial (R r)}{\partial r} \right] \boldsymbol{e}_\theta + \dfrac{1}{r} \left[ \dfrac{\partial (Q r)}{\partial r} - \dfrac{\partial P}{\partial \theta} \right] \boldsymbol{e}_\varphi.$$

物理意义

旋度作为衡量向量场非均匀漩涡情形的一种量度，其在有旋场中应用广泛，一个直观模型就是刚体转动的线速度场$\boldsymbol{v}$，实际上，

$$\oint_C \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \oint_C \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \pm 2 \pi r^2 \omega.$$

上式是场中的环量，而方向环量只有当其沿转轴$\boldsymbol{k}$时才最大，故旋度

$$\textbf{rot} \boldsymbol{v} = \dfrac{1}{\pi r^2} \left| \oint_C \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} \right| \boldsymbol{k} = 2\boldsymbol{\omega}.$$

速度场的旋度是角速度的二倍，旋度也是因此得名。

在磁场中，设磁场强度为$\boldsymbol{H}$，那么磁场的旋度

$$\textbf{rot} \boldsymbol{H} = \boldsymbol{j}_d$$

它的旋度就是磁场的电位移矢量，在稳恒磁场中时就是电流密度矢量$\boldsymbol{j}$。

无旋场

设空间区域$\mathit{\Omega}$上的一个三维向量场$\boldsymbol{F}$，如果对任意的点$M_0 \in \mathit{\Omega}$，旋度

$$\textbf{rot} \boldsymbol{F} \equiv \boldsymbol{0}.$$

我们就称该向量场为无旋场，反之称为有旋场。静电场和引力场是无旋场，而刚体转动的线速度场和磁场是有旋场。

若设向量场$\boldsymbol{F}$是连续可微的，那么无旋场的定义还有如下等价刻画：对任意的点$M_0 \in \mathit{\Omega}$，对任意一条全在$\mathit{\Omega}$内的零伦的逐段光滑简单闭曲线$C$，环量

$$\oint_C \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = 0.$$

运算性质

旋度有如下运算性质

1. 线性性：设$\boldsymbol{F}, \boldsymbol{G}$是向量值函数，$a, b$为实常数，则$\textbf{rot} (a\boldsymbol{F}+b\boldsymbol{G}) = a \textbf{rot} \boldsymbol{F} + b \textbf{rot} \boldsymbol{G};$
2. 设$u$是三元数量函数，$\boldsymbol{F}$是三元向量值函数，则$\textbf{rot} (u \boldsymbol{F}) = u \textbf{rot} \boldsymbol{F} + \nabla u \times \boldsymbol{F};$
3. 任何梯度场都是无旋场：设$u$是三元数量函数，$\textbf{rot} (\nabla u) = 0;$
4. 任何旋度场都是无源场：设$\boldsymbol{F}$是三元向量值函数，$\nabla (\textbf{rot} \boldsymbol{F}) = \boldsymbol{0};$
5. 若$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$均为无旋场，则$\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}$为无源场：$\text{div} (\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) = \boldsymbol{B} \cdot \textbf{rot} \boldsymbol{A} - \boldsymbol{A} \cdot \textbf{rot} \boldsymbol{B};$
6. 设$u$是三元数量函数，则$u \nabla u$是无旋场：$\textbf{rot} (u \nabla u) = \boldsymbol{0};$
7. 设$\boldsymbol{F}$是三元向量值函数，那么$\textbf{rot}(\textbf{rot}\boldsymbol{F}) = \nabla(\text{div}\boldsymbol{F}) - \nabla^2 \boldsymbol{F};$
8. 设$\boldsymbol{F}, \boldsymbol{G}$是三元向量值函数，$\text{div} (\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{G}) = \boldsymbol{F} \times \textbf{rot}\boldsymbol{G} + \boldsymbol{G} \times \textbf{rot}\boldsymbol{F} + (\boldsymbol{F} \cdot \nabla) \boldsymbol{G} + (\boldsymbol{G} \cdot \nabla) \boldsymbol{F};$
9. 设$\boldsymbol{F}, \boldsymbol{G}$是三元向量值函数，$\textbf{rot} (\boldsymbol{F} \times \boldsymbol{G}) = (\text{div}\boldsymbol{G}) \boldsymbol{F} - (\text{div}\boldsymbol{F}) \boldsymbol{G} + (\boldsymbol{G} \cdot \nabla) \boldsymbol{F} - (\boldsymbol{F} \cdot \nabla) \boldsymbol{G}.$

Stokes 公式

借助环量和旋度的概念，可以将 Stokes 公式写作

$$\oint_C \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\tau} = \iint_\boldsymbol{S} \textbf{rot} \boldsymbol{F} \mathrm{d}\boldsymbol{S}.$$

逐块光滑曲面$\boldsymbol{S}$的边界是逐段光滑曲线$\boldsymbol{C}$，曲面$\boldsymbol{S}$的方向与曲线$\boldsymbol{C}$的方向由右手螺旋定则确定。

对于曲面向量场的旋度，详见曲面向量场#旋度。

上下节

• 上一节：方向旋量
• 下一节：平面向量场

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（下）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6807-2.