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在多元微分学以及场论中,方向导数是作为偏导数几何概念的推广得到的,它是场论中梯度概念的基础。方向导数刻画的是一个多元函数沿着某个方向的变化率。在 Banach 空间的微分学中,方向导数或偏导数对应的数学概念是 Gateaux 导数

定义[]

以三元函数为例,设,有向射线的方向向量是,记向量的长度为。我们考虑函数值沿着射线的变化率

,如果极限存在且为有限数,我们就称这个极限为函数点沿着方向的方向导数,记作

因此我们可知偏导数是特殊的方向导数,例如三元函数的偏导数就是方向的方向导数。

公式[]

可以利用偏导数来求解方向导数,设三元函数在点存在对各变元的偏导数,那么在该点处沿着方向的方向导数计算公式为

梯度的概念来表示就是
即梯度与方向向量的内积。其中,算符表示梯度,它被定义为
分别是轴的单位向量。

性质[]

方向导数算子是线性算子,即有

是常数,则有

上下节[]

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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