在多元微分学以及场论中,方向导数是作为偏导数几何概念的推广得到的,它是场论中梯度概念的基础。方向导数刻画的是一个多元函数沿着某个方向的变化率。在 Banach 空间的微分学中,方向导数或偏导数对应的数学概念是 Gateaux 导数。
定义[]
以三元函数
为例,设
,有向射线
的方向向量是
,记向量
的长度为
。我们考虑函数值沿着射线
的变化率

令

即

,如果极限

存在且为有限数,我们就称这个极限为函数

在

点沿着

方向的
方向导数,记作

或

。
因此我们可知偏导数是特殊的方向导数,例如三元函数
对
的偏导数就是方向
的方向导数。
公式[]
可以利用偏导数来求解方向导数,设三元函数
在点
存在对各变元的偏导数,那么在该点处沿着方向
的方向导数计算公式为

用
梯度的概念来表示就是

即梯度与方向向量的
内积。其中,算符

表示梯度,它被定义为


分别是

轴的单位向量。
性质[]
方向导数算子
是线性算子,即有
- 设
是常数,则有
上下节[]
参考资料