整除

整除是兩個整數之間的一種關係，它是數論中的最基本概念。

定義

設$a, b \in \Z$且$b\neq 0$，如果存在$c \in \Z$，使得$a = bc$我們就稱$b$整除（divide）$a$，記作$b \mid a$。此時我們也稱$b$是$a$的一個因子（或約數，divisor），$a$是$b$的倍數（multiple）。

如果滿足上述條件的$c$不存在，則稱$b$不整除$a$，記作$b \nmid a$。

例如，$2 \mid 4, (-5) \mid 15, 3 \nmid 5$等等。

特別地，$\forall a \in \Z, 1 \mid a$，且$\forall b \in \Z-\{0\}, b \mid 0.$

一些整數整除的特徵見整除的特徵。

基本性質

設下列各條件均有意義，則

1. 傳遞性：$a \mid b, b \mid c \Longrightarrow a \mid c;$
2. $a \mid b, b \mid a \Longrightarrow a = \pm b;$
3. $a \mid b, a \mid c \Longrightarrow a \mid bx+cy, \forall x,y \in \Z.$

環上的整除

設$R$是交換環，$a,b\in R$，如果存在$c \in R$使得$a = bc$，我們就說$b$整除$a$，記作$b \mid a$，同時稱$b$是$a$的因子，$a$是$b$的倍數。如果不存在這樣的$c$，我們就說$b \not\mid a.$

如果$b \mid a, a \mid b$，我們就說$a, b$是相伴的（associates），常記作$a \sim b$，它是一種等價關係。可以證明，整環中兩個非零元$a, b$相伴當且僅當存在單位$u \in R$（即滿足存在$v$使得$uv = vu = 1$）使得$b = au.$

和單位元$1$相伴的元素是$R$上的單位（unit），即$1 \sim u$，這裏$u$滿足：存在$v$使得$uv = vu = 1.$

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