整除

整除是两个整数之间的一种关系，它是数论中的最基本概念。

定义

设$a, b \in \Z$且$b\neq 0$，如果存在$c \in \Z$，使得$a = bc$我们就称$b$整除（divide）$a$，记作$b \mid a$。此时我们也称$b$是$a$的一个因子（或约数，divisor），$a$是$b$的倍数（multiple）。

如果满足上述条件的$c$不存在，则称$b$不整除$a$，记作$b \nmid a$。

例如，$2 \mid 4, (-5) \mid 15, 3 \nmid 5$等等。

特别地，$\forall a \in \Z, 1 \mid a$，且$\forall b \in \Z-\{0\}, b \mid 0.$

一些整数整除的特征见整除的特征。

基本性质

设下列各条件均有意义，则

1. 传递性：$a \mid b, b \mid c \Longrightarrow a \mid c;$
2. $a \mid b, b \mid a \Longrightarrow a = \pm b;$
3. $a \mid b, a \mid c \Longrightarrow a \mid bx+cy, \forall x,y \in \Z.$

环上的整除

设$R$是交换环，$a,b\in R$，如果存在$c \in R$使得$a = bc$，我们就说$b$整除$a$，记作$b \mid a$，同时称$b$是$a$的因子，$a$是$b$的倍数。如果不存在这样的$c$，我们就说$b \not\mid a.$

如果$b \mid a, a \mid b$，我们就说$a, b$是相伴的（associates），常记作$a \sim b$，它是一种等价关系。可以证明，整环中两个非零元$a, b$相伴当且仅当存在单位$u \in R$（即满足存在$v$使得$uv = vu = 1$）使得$b = au.$

和单位元$1$相伴的元素是$R$上的单位（unit），即$1 \sim u$，这里$u$满足：存在$v$使得$uv = vu = 1.$

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