整數

整數是自然數的延展，可記作$\mathbb{Z}$，包括所有的正數與負數及0，是數論重要的研究對象之一。

整數集合是為一可數集，元素個數為無限，雖然看起來有些詭異，但整數集合的元素個數和自然數一樣多。

性質

以下$+$為通常意義的加法的符號，$*$為通常意義的乘法的符號。

• 對任意整數$a$與$b$而言，$a+b$之和、($a-b$之差)與$a*b$之積亦為整數
• 沒有最小和最大的整數，對任意整數$a$而言，存在整數$b$和$c$，使得$c < a < b$
• 對於任意整數$a$、$b$、$c$而言，$a*b + c = (a*b) + c$。括弧內的式子為先運算之式子，以下亦然。
• 對於任意整數$a$、$b$、$c$而言，$(a+b)+c=a+(b+c)$；$a + b = b + a$(加法的交換律與結合律)
• 對任意整數$a$而言，$a + 0 = 0 + a = a$
• 對任意整數$a$而言，存在一個整數$(-a)$，使得$a + (-a) = (-a) + a = 0$
• 對任意整數$a$與$b$而言，$a - b = a + (-b) = (-b) + a$
• 對於任意整數$a$、$b$、$c$而言，$(a*b)*c = a*(b*c)$；$a*b = b*a$(乘法的交換律與結合律)
• 對於任意整數$a$而言，$a*1 = 1*a = a$
• 對於任意整數$a$、$b$、$c$而言，$(a + b)*c = a*c + b*c$；$c*(b + a) = c*b + c*a$(分配律)
• 對任意整數$a$與$b$而言，若$a\ne0$且$b\neq 0$，則$a*b \ne 0$；若$a$或$b$有一為0，或兩者皆為零，則$a*b = 0$。此處的$\ne$表「不等於」之意。
• 對任意整數$a$與$b$而言，$a > b$、$a < b$或$a = b$這三關係間必有且僅有一個成立。
• 對於任意自然數$a$、$b$、$c$而言，若$a \le b$且$c > 0$，則$a*c \le b*c$；若$a \le b$且$c < 0$，則$a*c \ge b*c$；若$d$為一整數且有$a \le b$和$c \le d$，則有$a + c \le b + d$
• 對任意整數$a$與$b$而言，若$a > b$，則存在兩可能為0亦可能不為0的整數$c$和$r$，使得$a = b*c + r$，在此一般都取$b > r \ge 0$。

由此可見，整數對於通常意義的加法和乘法構成一環，且為一整環，整環之名其實也是因整數而來。

參見

• 自然數
• 數論
• 幾何
• 整環
• 高斯整數