数项级数

无穷级数简称级数，它可以认为是一个数列的前$n$项的和组成的数列。这种特殊的数列在函数的研究中有重要作用，它的敛散性判断和运算规律就构成了级数理论的基本框架。数项级数是无穷级数的一种，它是每一项都是数字的无穷级数，这种级数是后续研究函数项级数的基础。

概念

无穷级数是用加号$+$把无穷多个数连接起来组成的表达式。给定一个数列$\{ u_n \}$，那么下面的表达式就是一个无穷级数 $$\sum_{n=1}^\infty u_n := u_1 + u_2 + u_3 + \cdots + u_n + \cdots$$ 而数列$\{ u_n \}$的通项公式$u_n$就称作这个级数的一般项，数列$\{ u_n \}$的前$n$项和$S_n$称作级数的部分和，数列$\{S_n\}$称作级数的部分和数列。

敛散性

对无穷级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$，如果部分和数列存在极限，即 $$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n u_k = S \in \mathbb{R}$$ 那么就称级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛，而把上述极限值称为级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$的和，部分和数列极限不是有限数（极限不存在）时称级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$发散。

特别地，对于下述的两种发散情形，称级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$发散到正无穷和负无穷。 $$\sum_{n=1}^\infty u_n = + \infty, \quad \sum_{n=1}^\infty u_n = - \infty$$

著名的调和级数 $$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \cdots$$就是一个发散的例子，尽管它看起来不太像。

历史上，对无穷级数研究要早于微积分，尤其是等比级数的求和，但由于没有建立起完备的理论体系，不免会出现很多悖论，例如最简单的$1-1+1-1+\cdots$。$S = (1-1)+(1-1)+\cdots = 0$，但$S = 1-(1-1)-(1-1)-\cdots = 1$，而$S = 1-(1+1-1+\cdots) = 1-S \rightarrow S = \dfrac{1}{2}$，这显然是不能接受的。而之后在微积分发展的同时，相对成熟的级数理论也发展起来了，这也使得人们认识到一个级数可以像有限个数那样运算的条件。正因为$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n$是发散的，所以才不能像上面那样运算，从这个例子中我们也可以看到研究级数敛散性的意义。

条件收敛和绝对收敛

像反常积分那样，我们也可以给级数定义绝对收敛和条件收敛的概念：

如果级数$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$收敛，则必定可以得到$\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛，这时就称级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$是绝对收敛的；

如果级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$本身收敛但$\sum_{n=1}^\infty |u_n|$发散，我们就称级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$条件收敛。

性质

1. 收敛级数有线性性，如果级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$和$\sum_{n=1}^\infty v_n$收敛，则它们的任意线性组合$\sum_{n=1}^\infty ( a u_n + b v_n ), \forall a, b \in \mathbb{R}$也收敛，且有$$\sum_{n=1}^\infty ( a u_n + b v_n ) = a \sum_{n=1}^\infty u_n + b \sum_{n=1}^\infty v_n$$
2. 改变级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$中的有限项，不改变级数的敛散性，但收敛的值可能会变。
3. 若级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛，则通项极限$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$，此命题的逆命题并不成立。同时有逆否命题成立：若级数的一般项不趋于零，则它一定发散。

正项级数

对于每一项都是非负的常数项级数我们称为正项级数，每一项符号前后交错的级数被称为交错级数，典型的交错级数由$-1$的幂次以及正余弦函数生成。我们也把不是正项级数的级数称为任意项级数。正项级数由于其各项非负，研究敛散性时更为简便，可以为后续研究提供便利。另外，判断绝对收敛的时候实际上也是在判断正项级数的敛散性。

对于正项级数来说，绝对收敛和收敛是等价的，不存在条件收敛的情形。

Cauchy （柯西）收敛准则

对于数项级数来说，它的 Cauchy 收敛准则是：级数$\sum_{n=1}^\infty u_n$收敛的充要条件是，对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N$，使得当$n > N$时，对任意的正整数 $p \in \mathbb{N}^{+}$，总有 $$\left| \sum_{k = n+1}^{n+p} u_k \right| < \varepsilon$$ 这也等价于对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N$，使得对任意两个$m > n > N$总有 $$\left| S_m - S_n \right| < \varepsilon$$

特别注意条件中的$p \in \mathbb{N}^{+}$与存在正整数$N$不能交换，也就是说$p$的选择要依赖于$N$，调和级数$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}$就是一个反例。

上下节

• 上一节：瑕积分
• 下一节：正项级数收敛判别法

  参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.