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數論中,數論函數或稱算術函數,是指自變量取到某些整數值而函數值在複數域中取值的函數。例如,是常數)就是一個數論函數。

有的數論函數可以表示成的形式,這是一種抽象求和表示,其中是關於的具體表達式,這個求和的意義是:對所有處於函數的定義域中的的因子被函數作用後的結果求和,有時簡寫為。在下面我們將會看到一些數論函數的這種表示。

由標準分解式衍生的函數[]

設整數有標準分解式。那麼有下列常見的函數:

  1. 除數函數,表示的所有正因子的個數。
  2. 除數和函數,表示的所有正因子的和。
  3. Euler 函數,表示中所有與互素的元素的個數。
  4. ,表示的不同素因子的個數。
  5. ,表示的所有素因子的個數(重數計算在內)。

積性函數[]

如果一個數論函數對任意定義域內的互素的,都滿足,就稱這個數論函數是積性數論函數

例如,是常數)就是一個積性數論函數,上文的都是積性的,而)、不是積性的。

積性數論函數有著這樣的性質:對定義域中的任意整數標準分解:,那麼,因此,把握一個積性數論函數的取值,只需要知道它在(如果在定義域中的話)以及素數方冪處的值即可。

完全積性函數[]

如果一個數論函數對任意定義域內的,都滿足,就稱這個數論函數是完全積性數論函數,它比積性條件更強。完全積性的數論函數,只需要掌握它在定義域中素數的取值即可:對定義域中的任意整數標準分解:,那麼。完全積性函數一定是積性函數。

例如,是常數)就是一個完全積性數論函數,上面介紹的其它數論函數都不是完全積性的。

性質[]

  • 是積性數論函數,那麼下面的函數都是積性的:
  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. 是給定整數。
  • 是積性數論函數,那麼

加性函數[]

如果一個數論函數對任意定義域內的互素的,都滿足,就稱這個數論函數是加性數論函數,如果不要求互素,那它就是一個完全加性函數。

例如,上文的是加性的數論函數,其中只有是完全加性的數論函數。

加性函數和積性函數有聯繫,例如是積性的,但不是完全積性的;而是完全積性的,被稱為 Liouville 函數。

上下節[]

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