在數論中,數論函數或稱算術函數,是指自變量
取到某些整數值而函數值在複數域中取值的函數。例如,
(
是常數)就是一個數論函數。
有的數論函數可以表示成
的形式,這是一種抽象求和表示,其中
是關於
的具體表達式,這個求和的意義是:對所有處於函數
的定義域中的
的因子
被函數
作用後的結果求和,有時簡寫為
。在下面我們將會看到一些數論函數的這種表示。
由標準分解式衍生的函數[]
設整數
有標準分解式
。那麼有下列常見的函數:
- 除數函數:
,表示
的所有正因子的個數。
- 除數和函數:
,表示
的所有正因子的和。
- Euler 函數:
,表示
中所有與
互素的元素的個數。
,表示
的不同素因子的個數。
,表示
的所有素因子的個數(重數計算在內)。
積性函數[]
如果一個數論函數
對任意定義域內的互素的
,都滿足
,就稱這個數論函數是積性數論函數。
例如,
(
是常數)就是一個積性數論函數,上文的
都是積性的,而
(
)、
、
不是積性的。
積性數論函數
有著這樣的性質:對定義域中的任意整數
標準分解:
,那麼
,因此,把握一個積性數論函數的取值,只需要知道它在
(如果
在定義域中的話)以及素數方冪處的值即可。
完全積性函數[]
如果一個數論函數
對任意定義域內的
,都滿足
,就稱這個數論函數是完全積性數論函數,它比積性條件更強。完全積性的數論函數,只需要掌握它在定義域中素數的取值即可:對定義域中的任意整數
標準分解:
,那麼
。完全積性函數一定是積性函數。
例如,
(
是常數)就是一個完全積性數論函數,上面介紹的其它數論函數都不是完全積性的。
性質[]
- 若
是積性數論函數,那麼下面的函數都是積性的:
;
;
;
,
是給定整數。
- 若
是積性數論函數,那麼
。
加性函數[]
如果一個數論函數
對任意定義域內的互素的
,都滿足
,就稱這個數論函數是加性數論函數,如果不要求
互素,那它就是一個完全加性函數。
例如,上文的
、
、
是加性的數論函數,其中只有
、
是完全加性的數論函數。
加性函數和積性函數有聯繫,例如
是積性的,但不是完全積性的;而
是完全積性的,被稱為 Liouville 函數。
上下節[]