在数论中,数论函数或称算术函数,是指自变量
取到某些整数值而函数值在复数域中取值的函数。例如,
(
是常数)就是一个数论函数。
有的数论函数可以表示成
的形式,这是一种抽象求和表示,其中
是关于
的具体表达式,这个求和的意义是:对所有处于函数
的定义域中的
的因子
被函数
作用后的结果求和,有时简写为
。在下面我们将会看到一些数论函数的这种表示。
由标准分解式衍生的函数[]
设整数
有标准分解式
。那么有下列常见的函数:
- 除数函数:
,表示
的所有正因子的个数。
- 除数和函数:
,表示
的所有正因子的和。
- Euler 函数:
,表示
中所有与
互素的元素的个数。
,表示
的不同素因子的个数。
,表示
的所有素因子的个数(重数计算在内)。
积性函数[]
如果一个数论函数
对任意定义域内的互素的
,都满足
,就称这个数论函数是积性数论函数。
例如,
(
是常数)就是一个积性数论函数,上文的
都是积性的,而
(
)、
、
不是积性的。
积性数论函数
有着这样的性质:对定义域中的任意整数
标准分解:
,那么
,因此,把握一个积性数论函数的取值,只需要知道它在
(如果
在定义域中的话)以及素数方幂处的值即可。
完全积性函数[]
如果一个数论函数
对任意定义域内的
,都满足
,就称这个数论函数是完全积性数论函数,它比积性条件更强。完全积性的数论函数,只需要掌握它在定义域中素数的取值即可:对定义域中的任意整数
标准分解:
,那么
。完全积性函数一定是积性函数。
例如,
(
是常数)就是一个完全积性数论函数,上面介绍的其它数论函数都不是完全积性的。
性质[]
- 若
是积性数论函数,那么下面的函数都是积性的:
;
;
;
,
是给定整数。
- 若
是积性数论函数,那么
。
加性函数[]
如果一个数论函数
对任意定义域内的互素的
,都满足
,就称这个数论函数是加性数论函数,如果不要求
互素,那它就是一个完全加性函数。
例如,上文的
、
、
是加性的数论函数,其中只有
、
是完全加性的数论函数。
加性函数和积性函数有联系,例如
是积性的,但不是完全积性的;而
是完全积性的,被称为 Liouville 函数。
上下节[]