在数论中,卷积(亦称为 Dirichlet 卷积)运算是数论函数的一种运算,它是数论中的一个很重要的工具。
定义[]
设有数论函数
,则下式的结果就定义为
和
的卷积,它仍然是一个数论函数。

简记为

。
基本性质[]
- 结合律:
;
- 交换律:
;
- 分配律:
;
- 与函数乘法的关系:
;
- 卷积保持了积性,如果
都是(完全)积性的,那么
也是(完全)积性的。
幺元[]
卷积的幺元是
,其中中括号是取整符号,当
时
。于是
,显然它是一个完全积性函数。
设恒常函数
,它也是一个完全积性函数,但要注意它不是卷积的幺元。另外一个经常会用到的数论函数是
,就是恒等映射,我们有时也记作
,它是一个完全加性函数。
Möbius 函数[]
找到卷积的幺元之后,很自然的一个问题是十分特殊的恒常函数
,它对应的卷积逆元是否存在,如果存在会是什么。实际上通过证明,它的逆元是如下定义的函数:

我们把它称为 Möbius 函数,于是
卷积与一些数论函数的关系[]
一个数论函数如果有
的表示形式,那么有
,这个结论看似简单,在之后的 Möbius 反演公式中有很大作用。联系到之前的一些数论函数,有
- 除数函数:

- 除数和函数:

此外,
其它卷积[]






Dirichlet 逆[]
设函数
满足
,且存在
,使得
,那么就称函数
有 Dirichlet 逆(卷积逆),这是函数对于卷积的逆元,记作
。
定理:数论函数
有卷积逆当且仅当
。
卷积逆有下列性质:



- 如果
是完全积性函数,那么
显然 Möbius 函数的卷积逆
;其他常见数论函数的卷积逆是





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