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数论中,卷积(亦称为 Dirichlet 卷积)运算是数论函数的一种运算,它是数论中的一个很重要的工具。

定义[]

设有数论函数,则下式的结果就定义为的卷积,它仍然是一个数论函数。

简记为

基本性质[]

  1. 结合律:
  2. 交换律:
  3. 分配律:
  4. 与函数乘法的关系:
  5. 卷积保持了积性,如果都是(完全)积性的,那么也是(完全)积性的。

幺元[]

卷积的幺元是,其中中括号是取整符号,当。于是,显然它是一个完全积性函数。

设恒常函数,它也是一个完全积性函数,但要注意它不是卷积的幺元。另外一个经常会用到的数论函数是,就是恒等映射,我们有时也记作,它是一个完全加性函数。

Möbius 函数[]

找到卷积的幺元之后,很自然的一个问题是十分特殊的恒常函数,它对应的卷积逆元是否存在,如果存在会是什么。实际上通过证明,它的逆元是如下定义的函数:

我们把它称为 Möbius 函数,于是

卷积与一些数论函数的关系[]

一个数论函数如果有的表示形式,那么有,这个结论看似简单,在之后的 Möbius 反演公式中有很大作用。联系到之前的一些数论函数,有

  1. 除数函数
  2. 除数和函数

此外,

其它卷积[]

Dirichlet 逆[]

设函数满足,且存在,使得,那么就称函数有 Dirichlet 逆(卷积逆),这是函数对于卷积的逆元,记作

定理:数论函数有卷积逆当且仅当

卷积逆有下列性质:

  1. 如果是完全积性函数,那么

显然 Möbius 函数的卷积逆;其他常见数论函数的卷积逆是

上下节[]

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