数论函数

在数论中，数论函数或称算术函数，是指自变量$n$取到某些整数值而函数值在复数域中取值的函数。例如，$f(n) = n^k, n \in \N$（$k$是常数）就是一个数论函数。

有的数论函数可以表示成$f(n) = \sum_{d:d|n} g(d)$的形式，这是一种抽象求和表示，其中$g(d)$是关于$d$的具体表达式，这个求和的意义是：对所有处于函数$f(n)$的定义域中的$n$的因子$d$被函数$g(d)$作用后的结果求和，有时简写为$f(n) = \sum_{d|n} g(d)$。在下面我们将会看到一些数论函数的这种表示。

由标准分解式衍生的函数

设整数$n$有标准分解式$n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} p_3^{\alpha_3} \cdots p_r^{\alpha_r}$。那么有下列常见的函数：

1. 除数函数：$\tau (n) = \sum_{d|n} 1, n \in \N$，表示$n$的所有正因子的个数。
2. 除数和函数：$\sigma (n) = \sum_{d|n} d, n \in \N$，表示$n$的所有正因子的和。
3. Euler 函数：$\varphi (n) = \sum_{\underset{(i,n)=1}{i=1}} 1, n \in \N$，表示$0 \sim n$中所有与$n$互素的元素的个数。
4. $\omega (n) = r, n \in \N$，表示$n$的不同素因子的个数。
5. $\Omega (n) = \sum_{i=1} \alpha_i, n \in \N$，表示$n$的所有素因子的个数（重数计算在内）。

积性函数

如果一个数论函数$f(n)$对任意定义域内的互素的$m,n$，都满足$f(mn)=f(m)f(n)$，就称这个数论函数是积性数论函数。

例如，$f(n) = n^k, n \in \N$（$k$是常数）就是一个积性数论函数，上文的$\tau (n), \sigma (n), \varphi (n)$都是积性的，而$f(n) = k, n \in \N$（$k \ne 0, 1$）、$\omega (n)$、$\Omega (n)$不是积性的。

积性数论函数$f(n)$有着这样的性质：对定义域中的任意整数$n$标准分解：$n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} p_3^{\alpha_3} \cdots p_r^{\alpha_r}$，那么$f(n) = f(p_1^{\alpha_1}) f(p_2^{\alpha_2}) f(p_3^{\alpha_3}) \cdots f(p_r^{\alpha_r})$，因此，把握一个积性数论函数的取值，只需要知道它在$\pm 1$（如果$-1$在定义域中的话）以及素数方幂处的值即可。

完全积性函数

如果一个数论函数$f(n)$对任意定义域内的$m,n$，都满足$f(mn)=f(m)f(n)$，就称这个数论函数是完全积性数论函数，它比积性条件更强。完全积性的数论函数，只需要掌握它在定义域中素数的取值即可：对定义域中的任意整数$n$标准分解：$n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} p_3^{\alpha_3} \cdots p_r^{\alpha_r}$，那么$f(n) = f^{\alpha_1} (p_1) f^{\alpha_2} (p_2) f^{\alpha_3} (p_3) \cdots f^{\alpha_r} (p_r)$。完全积性函数一定是积性函数。

例如，$f(n) = n^k, n \in \N$（$k$是常数）就是一个完全积性数论函数，上面介绍的其它数论函数都不是完全积性的。

性质

• 若$f(n), g(n)$是积性数论函数，那么下面的函数都是积性的:

1. $k f(n) \pm l g(n), k, l \in \Z$;
2. $|f(n)|$;
3. $f(n^k), k \in \N$;
4. $f((n, M))$，$M$是给定整数。

• 若$f(n)$是积性数论函数，那么$f(m)f(n) = f((m, n)) f([m, n])$。

加性函数

如果一个数论函数$f(n)$对任意定义域内的互素的$m,n$，都满足$f(mn) = f(m) + f(n)$，就称这个数论函数是加性数论函数，如果不要求$m,n$互素，那它就是一个完全加性函数。

例如，上文的$f(n) = 0, n \in \N$、$\omega (n)$、$\Omega (n)$是加性的数论函数，其中只有$f(n) = 0, n \in \N$、$\Omega (n)$是完全加性的数论函数。

加性函数和积性函数有联系，例如$\nu (n) = (-1)^{\omega (n)}$是积性的，但不是完全积性的；而$\lambda (n) = (-1)^{\Omega (n)}$是完全积性的，被称为 Liouville 函数。

上下节

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