设,称-矩阵为矩阵的特征矩阵(characteristic matrix),在不引起混淆的情况下,特征矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子也叫做矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子。
可能不是满秩的,但它的特征矩阵一定是满秩的。
相关因子[]
例如,三阶方阵的特征矩阵是
最后一个行列式因子,由于它有两个互素的二阶子式:,故,自然
不变因子自然是,初等因子只有。
在-矩阵的行列式(或不变)因子中,如果高一阶的所有因子为,那么所有比它低阶的因子都为。
次数关系[]
在的特征矩阵中,,,且所有初等因子的次数和也是。
与零化多项式的关系[]
在的特征矩阵中,,因此可以使用特征矩阵的因子的知识来解决零化多项式的相关问题。
如果数字矩阵的特征多项式是不可约一次式的乘积,那么,所有低阶不变因子都是,且有个次数都为的初等因子。
由以上以及很容易证明
矩阵的相似[]
以下这个定理为之后我们寻找任意一个数字矩阵的相似标准型提供了理论依据:
设,与相似当且仅当它们所对应的特征矩阵等价,进而当且仅当它们有完全相同的行列式因子(或不变因子,或初等因子)。
上下节[]
- 上一节:Λ-矩阵
- 下一节:Frobenius 标准形
参考资料
- 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN
978-7-0304-0417-6
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- 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN
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