数列极限

极限（limit）是研究变量变化规律的重要工具。通俗来说，极限就是一个变量变化过程中的趋向值，变量的变化过程就是极限过程。在数列研究中，数列的极限（limit of a sequence）也就是数列中项不断递进的趋向值。

数列极限定义

数学语言

设一数列$\{ x_n \}, x_n \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}, a \in \mathbb{R}$，若$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N^{+}}$，使得当$n > N$时有$|x_n - a | < \varepsilon$，称数列$\{ x_n \}$收敛于$a$，记作$\lim _{n \to \infty} x_n = a$或$x_n \to a~(n \to \infty)$。 展开例子折叠例子$\left\{ \dfrac{1}{n} \right\}$是收敛数列，因为根据定义，对任意的$\varepsilon > 0$，我们只要取$N = \left[ \dfrac{1}{\varepsilon} \right] + 1$即可。 由于这里的$\varepsilon$用来表示一个可以任意小的量，所以自然地也可以用同样可以是任意小的量代替，如$2 \varepsilon, \dfrac{\varepsilon}{2}, \varepsilon^2$。因此数列极限的一种等价定义可以是：$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N^{+}}, \forall c \in \mathbb{R} - \{ 0 \}$，使得当$n > N$时有$|x_n - a | < c \varepsilon.$

数列收敛当且仅当这个数列极限存在（为有限数）。如果一个数列没有极限，我们说它是发散的，用数学语言表示就是$\exists \varepsilon_0 > 0, \forall N \in \mathbb{N^{+}}$，使得当$n > N$时有$|x_n - a | > \varepsilon_0.$

几何解释

数列$\{ x_n \}$的极限是$a$，就是在$\{ x_n \}$的第$N$项之后的所有项都落在$a$的一个邻域$U(a, \varepsilon)$中。

数列极限的性质

保序性

若$\lim _{n \to \infty} x_n = a, \lim _{n \to \infty} y_n = b$，且$a > b$，则$\exists N \in \mathbb{N^{+}}$，当$n > N$时有$x_n > y_n$。

• 推论一：若$\lim _{n \to \infty} x_n = a, \lim _{n \to \infty} y_n = b$，$\exists N \in \mathbb{N^{+}}$，当$n > N$时有$x_n > y_n$则$a \geqslant b$。
• 推论二：若$\lim _{n \to \infty} x_n = a$，且$a > b$，则$\exists N \in \mathbb{N^{+}}$，当$n > N$时有$x_n > b$。

唯一性

若数列$\{ x_n \}$的极限存在，则这个极限是唯一的。

整体性

1. 一个收敛的数列，去掉其中有限项之后的按原顺序排列的数列仍然收敛，且极限与原数列相同；
2. 一个收敛的数列，错排其中某些项之后的数列仍然收敛，且极限与原数列相同。

有界性

若数列$\{ x_n \}$有极限，则$\{ x_n \}$有界，即$\exists M > 0, \forall n \in \mathbb{N}, | x_n | \leqslant M$。

收敛数列是有界数列，也就是说，收敛数列有最大值或最小值，但不一定同时有最大或最小值，例如$\{ \dfrac{1}{n} \}$这个数列有最大值$1$，但没有最小值。同时，有界数列不一定收敛，例如摆动数列$\{ \sin \dfrac{n\pi}{2} \}$

夹逼性

若$\exists N \in \mathbb{N}$，当$n > N$时有$x_n \leqslant y_n \leqslant z_n$并且$\lim _{n \to \infty} x_n = \lim _{n \to \infty} z_n = a$，则$\lim _{n \to \infty} y_n = a$。

这个性质在证明极限问题中十分常用，是典型的放缩策略，也称为两面夹法则。

数列极限的运算

设$\lim _{n \to \infty} x_n = a$，$\lim _{n \to \infty} y_n = b$，则有

1. $\lim _{n \to \infty} \left( {{x_n} \pm {y_n}} \right)= \lim _{n \to \infty } {x_n} \pm \lim _{n \to \infty } {y_n}$；
2. $\lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot {y_n} = \lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot \lim _{n \to \infty } {y_n}$；
3. 若$b \ne 0,{y_n} \ne 0$，则$\lim _{n \to \infty } \frac{{{x_n}}}{{{y_n}}} = \frac{\displaystyle{\lim _{n \to \infty } {x_n}}}{\displaystyle{\lim _{n \to \infty } {y_n}}}.$

单调有界定理

单调有界定理有上界的递增数列必有极限，且极限就是数列上确界；有下界的递减数列必有极限，且极限就是数列下确界。

我们可以用这个定理证明：

若$x_1 = a > 0, y_1 = b > a, x_{n+1} = \sqrt{x_n y_n}, y_{n+1} = \dfrac{x_n + y_n}{2}$，则$\lim _{n \to \infty} x_n = \lim _{n \to \infty} y_n$。

上例中的这个极限值被称为$x_1$和$y_1$的算术-几何平均值。

Cauchy 收敛准则

Cauchy 收敛准则：数列$\{ a_n \}$收敛$\iff \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb {N}^{+}, \forall m,n > N ,$有$|a_m - a_n| < \varepsilon.$必要性证明：
$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N^{+}}$，当$m, n > N$时，有
$| a_m - a | < \frac{\varepsilon} {2}, | a_n - a | < \frac{\varepsilon} {2}$
$\therefore | a_n - a_m | \leqslant | a_n - a | + | a_m - a | < \varepsilon$
这就证明了$\{ a_n \}$是一个 Cauchy 列。 这是判断一个数列是否收敛的充要条件。因此，一个有有限极限的数列（即满足 Cauchy 收敛准则的数列）也被称为 Cauchy 列（柯西列），Cauchy 收敛准则的条件也称为 Cauchy 条件（柯西条件）。

无穷小量和无穷大量

如果一个数列$\{ a_n \}$的极限是$0$，那么我们就说这个数列是无穷小数列，也就是数列上的无穷小量。即如果$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，那么$\{ a_n \}$为无穷小量。任何一个以$a$为极限的收敛数列$\{ a_n \}$都可以变形为$\lim _{n \to \infty} (a_n - a) = 0$，所以$\{ a_n - a \}$也是无穷小量。

和无穷小量一样，无穷大量也可从数列极限中定义，就是变量在极限过程中并不会趋近于某个数，而是无限制的增大或减小下去，用数学语言来说就是：$\forall G > 0, \exists N \in \mathbb{N^{+}}$，当$n > N$时有$| a_n | > G.$我们就记$\lim _{n \to \infty} a_n = \infty$

需要特别指出的是无穷小量和无穷大量都是变量，并不是一般意义上的数。

分部取 N

若$\lim _{n \to \infty} x_n = a$（$a$是有限数或$\pm\infty$），则$\lim _{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum _{k=1}^{n} x_k = a$。

这个性质可以推广到幂平均的场合。更一般地，我们可以证明

若$\lim _{n \to \infty} x_n = a, \lim _{n \to \infty} y_n = b$（$a, b$是有限数或$\pm\infty$），则$\lim _{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum _{k=1}^{n} {x_k y_{n+1-k}} = ab$。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.