数列

数列（number sequence）是由数字组成的序列，也即是全序排列的至多可列的数。

概念

有至多可列个数 $x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n, \cdots$ 按照次序一直排列下去，就组成一个数列。其中，这个数列的第$n$项记为$x_n$，$x_n$是这个数列的通项公式，这个数列记为$\{ x_n \}$或$\{ x_n \}_{n=1}^infty$。

数列中的元素是有顺序的，这种顺序决定了数列的通项公式，一种稍微严谨的表述详见序列。 展开例子折叠例子设$x_n = \dfrac{1}{n}$，那么$\{ x_n \}$就是一个数列，代表$\{ 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots \}.$

数列的表示

数列中所有项的项数所满足的通式，称为这个数列的通项公式。例如，$\{ \frac{1}{n} \}$这个数列的通项公式是$x_n = \frac{1}{n}$，除了通项公式之外，数列也可以用递推公式给出，例如上面一个数列的递推公式可以是$\frac{1}{x_{n+1}} = \frac{1}{x_{n}} + 1$。

分类

有限数列

如果一个数列的元素是有限的，称其为有限数列，否则称为无穷数列。有$n$项的有限数列一般记作$\{ x_k \}_{k=1}^n$，无穷数列一般记作$\{ x_n \}_{n=1}^\infty$，一般所说的数列是可数的。

单调数列

1. 若$\forall n \in \mathbb{N^{+}}, x_{n} \leqslant x_{n+1}$，称数列$\{ x_n \}$是单调递增的，不取等号称数列$\{ x_n \}$是严格递增的；
2. 若$\forall n \in \mathbb{N^{+}}, x_{n} \geqslant x_{n+1}$，称数列$\{ x_n \}$是单调递减的，不取等号称数列$\{ x_n \}$是严格递减的。

展开例子折叠例子$\{ 2n+1 \}$是单调增数列，$\{ 1-2n \}$是单调减数列，$\{ 100 - n^2 \}$不是单调数列。

有界数列

若$\forall n \in \mathbb{N^{+}}, \exists M, N \in \mathbb{R}, M \leqslant x_{n} \leqslant N$，称数列$\{ x_n \}$是有界数列，$M$称为数列的下界，$N$称为数列的上界。同样，有界数列也可以这样定义：$\forall n \in \mathbb{N^{+}}, \exists A \in \mathbb{R}, | x_{n} | \leqslant A$，称数列$\{ x_n \}$是有界数列。 展开例子折叠例子$\left\{ 1 - \dfrac{1}{n} \right\}$是有界数列，$\{ 2n+1 \}, \{ n \sin n \}$不是有界数列，是无界数列。

求和与差分

对数列$\{ x_n \}$第1项到第n项求和，记为$S_n = \sum_{k=1}^n x_n$。一些特殊的求和公式详见数列求和。

给定一个数列$\{ A_n \}_{n \geqslant 1}$，如果存在数列$\{ a_n \}_{n \geqslant 1}$满足$A_1 = a_1$且$\{ a_n \}_{n \geqslant 1}$的求和数列是$\{ A_n \}_{n \geqslant 1}$，我们就称$\{ a_n \}$是$\{ A_n \}$的差分数列，简称差分。

一个数列$\{ A_n \}_{n \geqslant 1}$的差分数列存在且唯一，存在性由下述公式构造 $$a_n = A_n - A_{n-1}, n \geqslant 1, A_0 = 0.$$ 唯一性可以用反证法证明，假设存在两个不同的差分数列，那么这两个数列的差数列的求和数列是零数列，由此可知这两个数列一样，矛盾。

求和与差分的关系可以理解为离散的积分和导数的关系，如果不限定初始条件$a_1 = A_1$，得到的数列$\{ a_n \}$将不是唯一的，且相差一个常数。

上述定义要求全序的指标集$I$有下界或上界，否则将无法定义有限求和，会涉及到收敛性问题。但是依然可以定义差分。

特殊的数列

1. 等差数列：从第二项起，每一项与前一项的差相等的数列称为等差数列。用数学语言描述就是：$\exists d \in \R, \forall n \in \mathbb{N^{+}}, x_{n+1} - x_n = d.$$d$称为这个等差数列的公差。等差数列中$x_n$也称为$x_{n-1}$和$x_{n+1}$的等差中项。等差数列是特殊的单调数列。 展开例子折叠例子$\{ 2n+1 \} = \{ 3,5,7,\cdots \}$是公差为2的等差数列，常数列$\{ a \} = \{a,a,a,\cdots\}$是公差为零的等差数列
2. 等比数列：从第二项起，每一项与前一项的比值相等的数列称为等比数列。用数学语言描述就是：$\exists q \in \mathbb{R}, q \ne 0, \forall n \in \mathbb{N^{+}}, \frac{x_{n+1}}{x_n} = q.$$q$称为这个等比数列的公比。等比数列中$x_n$也称为$x_{n-1}$和$x_{n+1}$的等比中项。 展开例子折叠例子$\{ 2^n \}, \{ 2^{-n} \}, \{ 5\cdot3^{4n+2} \}$都是等比数列。
3. 常数数列：每一项都是一个定值的数列称为常数数列，常数数列是单调数列，但不是严格单调数列。同时它还是公差为0的等差数列，当常数数列不是零数列时还是公比为1的等比数列。
4. 高阶等差数列：等差数列的推广，假设有正整数$n$，那么$n$阶等差数列定义为：差分数列为$n-1$阶等差数列的数列，且零阶等差数列是常数列。由此可知一阶等差数列就是通常的等差数列。$n$阶等差数列的通项公式是关于有序指标集中元素的不大于$n$次的多项式。
5. 差比数列：等差数列和等比数列逐项相乘的数列，假设等差数列和等比数列的通项公式分别是$a_n = a_0 + nd, b_n = b_0 q^n$，那么可以定义差比数列$a_n b_n = (a_0 + nd) b_0 q^n.$

子列

详见子列。

数列的敛散性

详见数列极限。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.