数值积分

在数值分析中，数值积分是利用容易积分的简单函数（如多项式）去逼近一些难以计算原函数的复杂函数的定积分的一系列手段，常见的有 Newton-Cotes 求积公式等。

基本思路

对于一个积分$I = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$，当不能用微积分基本定理来计算它的值时，则需要用数值方法计算它的近似值，基本手段是选取函数在积分区间上的一系列采样点（节点）$a \leqslant x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n \leqslant b$使得

$$I=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx \sum _{k=0}^{n}A_{k}f(x_{k}).$$

这样的近似会产生相应的误差

$$R[f] = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x - \sum_{k=0}^n A_k f(x_k).$$

我们要解决的就是这样做的可行性以及误差的收敛性（指随着节点的增多，误差的变化情况）。

代数精度

假设同上，对于估计公式#A1，如果存在一个正整数$m \in \N^{+}$，对任意不超过$m$次的多项式$p(x)$，公式都精确成立，这也是说

$$I = \int_a^b p(x) \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^n A_k p(x_k).$$

而至少存在一个$m+1$次多项式$P(x)$，公式不精确成立，即

$$I = \int_a^b P(x) \mathrm{d}x \ne \sum_{k=0}^n A_k P(x_k).$$

我们就称公式#A1具有代数精度$m$。

可以证明，对于$n+1$个互异节点，总存在$n+1$个求积系数$\{ A_k \}_{k=0}^n$，使得#A1具有$n+1$次代数精度。

插值型求积公式

对于节点$a \leqslant x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n \leqslant b$，可以构造出 Lagrange 插值多项式，有基函数

$$l_k (x) = \prod_{\overset{j=0}{\underset{j \ne k}{}}}^n \dfrac{x - x_j}{x_k - x_j}, \quad k = 0,1,\cdots,n$$

如果求积公式#A1中的系数$A_k = \int_a^b l_k (x) \mathrm{d}x, k = 0,1,\cdots,n$，我们就称求积公式是插值型的。

可以证明，求积公式#A1是插值型的当且仅当它至少有$n$次代数精度。

简单的求积公式

1. 梯形公式：$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx \dfrac{b-a}{2} [f(a) + f(b)]$，具有一次代数精度。
2. 中矩形公式：$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx (b-a) f\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right)$，具有一次代数精度。
3. Simpson（辛普森）公式：$\int_a^b f(x) \mathrm{d}x \approx \dfrac{b-a}{6} \left[ f(a) + 4f\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right) + f(b) \right]$，具有三次代数精度。

相关页面

• Newton-Cotes 求积公式
• Gauss 求积公式
• 复化求积公式

参考资料

1. 黄云清, 《数值计算方法》, 科学出版社, 北京, 2012-06, ISBN 978-7-0302-3428-5.