散度

在场论中，散度是描述一个场有无“源头”性质的量，它是和坐标选取无关的量。

定义

设有$\mathit{\Omega}$上的一个三元向量场$\boldsymbol{F}$，设点$M_0 \in \mathit{\Omega}$，$S$是单连通区域$V \subset \mathit{\Omega}$的边界，它是光滑或逐块光滑的，在下式右端有意义时定义

$$\text{div} \boldsymbol{F}(M_0) := \lim_{\overset{d(V) \to 0}{\underset{M_0 \in V}{}}} \dfrac{1}{m(V)} \iint_\boldsymbol{S} \boldsymbol{F}(M) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S}$$

为向量场$\boldsymbol{F}$在点$M_0$处的散度，它是一个数量，是$\mathit{\Omega}$上点的数量函数，有时也记作$\nabla \cdot \boldsymbol{F}$。其中，$d(V) = \max_{M_1, M_2 \in V} \rho(M_1, M_2)$是$V$的直径，$m(V)$是$V$的体积。

实际上，散度可以理解为向量值函数$\boldsymbol{F}$在区域$V$上的通量（第二型曲面积分）的积分均值。任意一个$\mathit{\Omega}$上的可微向量场$\boldsymbol{F}$，它的散度$\text{div} \boldsymbol{F}$是一个关于点的数量函数，这个数量函数形成一个数量场，称为原向量场的散度场。

物理意义

如果说通量是反映某一区域内的整体源漏情况，那么散度则反映其极限——某一点的源漏情况。

散度可以很好地体现某一个点是否某向量场的源泉或漏陷，实际上，如果在某一点处的散度为正值，那么该处就是正源（源泉），它向外释放通量，散度越大释放能力越强；如果散度为负值，那么该处就是负源（漏陷），它吸收场中的通量，散度越小，吸收能力越强；如果该处散度是零，那么该处不是源泉或露陷。

计算公式

散度依据定义不易计算，通常选择一个坐标系进行计算，例如在直角坐标系中，设$\boldsymbol{F} = P(x, y, z) \boldsymbol{i} + Q(x, y, z) \boldsymbol{j} + R(x, y, z) \boldsymbol{k}$，那么

$$\text{div} \boldsymbol{F} = P_x + Q_y + R_z = \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} + \dfrac{\partial R}{\partial z}.$$

在柱坐标系中，设$\boldsymbol{F} = P(\rho, \varphi, z) \boldsymbol{e}_\rho + Q(\rho, \varphi, z) \boldsymbol{e}_\varphi + R(\rho, \varphi, z) \boldsymbol{k}$，那么

$$\text{div} \boldsymbol{F} = \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial (\rho P)}{\partial \rho} + \dfrac{1}{\rho} \dfrac{\partial Q}{\partial \varphi} + \dfrac{\partial R}{\partial z}.$$

在球坐标系中，设$\boldsymbol{F} = P(r, \theta, \varphi) \boldsymbol{e}_r + Q(r, \theta, \varphi) \boldsymbol{e}_\theta + R(r, \theta, \varphi) \boldsymbol{e}_\varphi$，那么

$$\text{div} \boldsymbol{F} = \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial (r^2 P)}{\partial r} + \dfrac{1}{r \sin \theta} \dfrac{\partial (Q \sin \theta)}{\partial \theta} + \dfrac{1}{r \sin \theta} \dfrac{\partial R}{\partial \varphi}.$$

它有如下运算性质

1. 线性性：设$\boldsymbol{F}, \boldsymbol{G}$是向量值函数，$a, b$为实常数，则$\text{div} (a\boldsymbol{F}+b\boldsymbol{G}) = a \text{div} \boldsymbol{F} + b \text{div} \boldsymbol{G};$
2. 设$u$是三元数量函数，$\boldsymbol{F}$是三元向量值函数，则${\text{div}}(u{\boldsymbol {F}})=u{\text{div}}{\boldsymbol {F}}+\nabla u\cdot {\boldsymbol {F}}.$

散度定理

又称 Gauss 定理，是 Gauss 公式的散度形式，它由静电场中的 Gauss 定理推广而来。

设有$\mathit{\Omega}$上的一个向量场$\boldsymbol{F}$，设点$M_0 \in \mathit{\Omega}$，$\boldsymbol{S}$是单连通区域$V \subset \mathit{\Omega}$的边界，它是逐块光滑的，那么有

$$\iint_\boldsymbol{S} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \iiint_V \text{div} \boldsymbol{F} \mathrm{d}V.$$

例如，（静电场中的 Gauss 定理）在静电场$\boldsymbol{E}$中，设一逐段光滑的闭合曲面$\boldsymbol{S}$包围了一个单连通区域$V$，那么通过该曲面上的电通量有如下关系

$$\iint_\boldsymbol{S} \boldsymbol{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{S} = \dfrac{1}{\varepsilon}\sum_{k: q_k \in V} q_k.$$

其中，$q_k$是区域$V$上的所有电荷的电荷量，带符号，$\varepsilon$是电导率。

平面情形

对于一个平面向量场$\boldsymbol{F}$，在场内一点$M_0$处的散度定义为

$$\text{div} \boldsymbol{F}(M_0) := \lim_{\overset{d(D) \to 0}{\underset{M_0 \in D}{}}} \dfrac{1}{m(D)} \int_C \boldsymbol{F}(M) \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d}s.$$

其中，右侧是一个第一型曲线积分，$C$为单连通区域$D$的边界，$\boldsymbol{n}$为$C$的外法向，它和$C$上点$M$的切向相垂直且指向曲线$C$的外侧。

在直角坐标系中，设$\boldsymbol{F} = P(x, y) \boldsymbol{i} + Q(x, y) \boldsymbol{j}$，那么

$$\text{div} \boldsymbol{F} = P_x + Q_y = \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y}.$$

在极坐标系中，设$\boldsymbol{F} = P(r, \theta) \boldsymbol{e}_r + Q(r, \theta) \boldsymbol{e}_\theta$，那么

$$\text{div} \boldsymbol{F} = \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial (r P)}{\partial r} + \dfrac{1}{r} \dfrac{\partial Q}{\partial \theta}.$$

对于曲面向量场的散度，详见曲面向量场。

上下节

• 上一节：通量
• 下一节：环量

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（下）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6807-2.