收敛数列空间

在分析学中，收敛数列空间（space of convergent numeric sequence）是一类特殊的序列构成的赋范线性空间，其中的元素都是收敛的实数或复数列。

在下面的分析中，我们假设数列的指标集是正整数及且有等价的记号$\{ x_n \} = (x_n) = (x_1, x_2, \cdots).$

定义

假设有数域$\mathbb{K}$（一般是实数或复数域）上的所有数列组成的集合，按照如下定义的逐点加法和数乘

1. 加法：$x + y = \{ x_1 + y_1, x_2 + y_2, \cdots \}, \quad \forall x = (x_n), y = (y_n) \in s.$
2. 数乘：$kx = \{ kx_1, kx_2, \cdots \}, \quad \forall k \in \mathbb{K}, x \in s.$

构成的线性空间记作$s$。我们在$s$上可以引入各种不等价的拓扑，例如

1. $l^p$范数拓扑（$1 \leqslant p \leqslant +\infty$），参见离散 lp 空间。
2. 准范数拓扑，参见 S 空间。

这个页面中我们主要介绍一类$l^\infty$范数拓扑下的特殊的子空间——收敛数列空间，它作为$s$的线性子空间而言收集了$s$上的所有常义收敛数列，且每个收敛数列的范数定义为$l^\infty$范数，我们称这个空间是空间$c$。

$c$中所有收敛到零的数列全体构成一个子空间，记作$c_0$。

稠密子集和可分性

我们知道$l^\infty$不可分，但是我们指出，子空间$c, c_0$都是可分的。

假设$D$是如下定义的子集

$$D_0 := \{ (x_n) \in l^\infty: x_n \in \Q ~~ \forall n \in \N, x_n = 0 \text{ for } n \text{ sufficiently large} \},$$ 那么$D_0$在$c_0$中稠密，且定义 $$D := \{ (x_n + \lambda): (x_n) \in D_0, \lambda \in \Q \},$$

那么$D$在$c$中稠密，进而$c_0, c$都是可分空间。

共轭空间

我们指出下面重要的表示定理：在等距同构的意义下，$c_0$的共轭空间是$l^1$。

对任意$c_0$上的连续线性泛函$f$，存在唯一的$u = (u_n) \in l^1$使得$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n x_n, \quad \forall x = (x_n) \in c_0.$$且$\| f \|_{(c_0)^*} = \| u \|_{l^1}.$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

记$e_n$是第$n$个坐标分量为1，其余分量为0的序列，我们断言$u = (u_n) = (f(e_n)).$假设$D_0$是#稠密性定义的稠密子集。

1. 对任意的$x = (x_n) \in D_0$，那么存在$N_x \in \N$使得对任意的$n > N_x$我们有$x_n = 0$，因此$$f(x) = f\!\left( \sum_{n=1}^{N_x} x_n e_n \right) = \sum_{n=1}^{N_x} x_n f(e_n) = \sum_{n=1}^{N_x} x_n u_n.$$由稠密性我们得到$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n x_n, \quad \forall x = (x_n) \in c_0. \quad(s1)$$
2. 一方面，对任意$x \in c_0$以及式#s1用 Hölder 不等式我们得到$$|f(x)| \leqslant \| u \|_{l^1} \| x \|_{l^\infty}, \quad \forall x \in c_0.$$于是$$\| f \|_{(c_0)^*} \leqslant \| u \|_{l^1}.$$
3. 另一方面，因为给定固定的$N \in \N$，我们考察形如$x = (x_1, x_2, \cdots, x_N, 0, 0, \cdots)$的序列，我们有$$\sum_{n=1}^N u_n x_n = f\!\left(\sum_{n=1}^N x_ne_n \right) \leqslant \| f \|_{(c_0)^*} \| x \|_{l^1}.$$最后一个不等号根据算子范数的定义得到，进一步，选择$x_{n}=\operatorname {sgn} u_{n}$（$\operatorname {sgn} 0:=0$），于是借助任意非零的$u_n$，我们得到$$\| f \|_{(c_0)^*} \geqslant \| u \|_{l^1}.$$
4. 唯一性：假设有$v \in c_0$满足式#s1，那么$(u_n-v_n, e_n) = 0$对任意$n$成立，那么$u = v.$

下面的事实则表明，收敛数列空间$c$的共轭空间是$l^1 \times \mathbb{K}$。

对任意$c$上的连续线性泛函$f$，存在唯一的$u = (u_n) \in l^1$以及唯一的$\lambda \in \mathbb{K}$使得

$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n x_n + \lambda \lim_{n \to \infty} x_n, \quad \forall x = (x_n) \in c.$$

且$\| f \|_{c^*} = \| u \|_{l^1}.$

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由于$f|_{c_0} \in (c_0)^*$，那么根据上一个定理的结果存在唯一的$u \in l^1$使得

$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty u_n x_n, \quad \forall x \in c_0.$$

1. 令$e = (1,1,1,\cdots)$，我们断言$\lambda = f(e) - \sum_{n=1}^\infty u_n$，实际上，对任意的$x \in c$记$l_x = \lim_{n \to \infty} x_n$，那么$y := x - l_x e \in c_0$，我们有$$f(x) = f(y) + l_x f(e) = \sum_{n=1}^\infty u_n (x_n-l_x) + l_x f(e) = \sum_{n=1}^\infty u_n x_n + l_x \left( f(e) - \sum_{n=1}^\infty u_n \right).$$
2. 泛函$$x \mapsto \sum_{n=1}^\infty u_n x_n + \lambda \lim_{n \to \infty} x_n$$是有界线性的，线性性是由极限和求和运算的线性性得到的，有界性是由极限和一致绝对可和数列的有界性得到的。下面我们证明范数等式成立。
3. 一方面，$|f(x)| \leqslant \sum_{n=1}^\infty |u_n| |x_n| + |\lambda| |l_x| \leqslant \| u \|_{l^1} \| x \|_{l^\infty} + |\lambda| \| x \|_{l^\infty}, \quad \forall x \in c.$这就表明$\| f \|_{c^*} \leqslant \| u \|_{l^1} + |\lambda|.$
4. 另一方面，对任意固定的$N \in \N$取特殊的$$x_{n}={\begin{cases}\operatorname {sgn} u_{n},&1\leqslant n\leqslant N,\\\operatorname {sgn} \lambda ,&n>N,\end{cases}}$$那么$$f(x)=\sum _{n=1}^{N}|u_{k}|+\operatorname {sgn} \lambda \sum _{n=N+1}^{\infty }u_{k}+|\lambda |\leqslant \|f\|_{c^{*}}.$$令$N\to \infty$我们得到$\| f \|_{c^*} \geqslant \| u \|_{l^1} + |\lambda|.$
5. 唯一性，我们只需要证明$\lambda$是唯一的，假设另有$\mu$也满足定理叙述中的式子，那么两式做差$0 = (\lambda - \mu) \lim_{n \to \infty} x_n$对任意$x_n \in c$都成立，这就表明$\lambda = \mu.$

由于$l^1$和$l^1 \times \mathbb{K}$等距同构，所以上面的事实告诉了我们存在着不等距同构的赋范线性空间，它们的对偶空间是等距同构的，因此在很多时候我们没有办法定义共轭空间的“逆运算”。

这个结果也表明$(c_0)^{**} = (l^1)^* = l^\infty$进而$c_0$不是自反的，于是$c$也不是自反的。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.