支集

在数学上，一个函数的支撑集（support set）或简称支集是这个函数取值非零的自变量的闭包。

概念

设有定义在有限维 Euclid 空间$\R^n$（或一般的局部紧的拓扑空间）中点集$E$上的函数$f(x)$，我们称如下点集

$$\{ x \in E: f(x) \ne 0 \}$$

的闭包为$f(x)$的支集，记作$\text{supp} f$或$\text{spt} f$，注意支集按此定义总是闭集，但不一定紧。如果存在紧集$K$使得$\text{supp}f \subset K \subset E$，我们就称该函数是具有紧支集的函数。

简单函数逼近定理

实变函数或测度论中，具有紧支集的可测函数列可以被简单函数逼近。

1. 设$f$是$E$上的非负可测函数，则存在一列具有紧支集的渐升非负简单函数列
   $$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty: f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant \cdots \leqslant f_k(x) \leqslant \cdots$$
   使得
   $$\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \quad x \in E.$$
2. 设$f$是$E$上的可测函数，则存在一列具有紧支集的简单函数列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty: |f_k(x)| \leqslant f(x)$使得
   $$\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \quad x \in E.$$
   当$f_k(x)$有界时上述收敛是一致收敛。

几乎处处与紧支集

当我们研究一个测度空间中的可测函数的紧支集时，我们希望几乎处处相等的两个可测函数$f, g$也具有相同的支集，但是这会出现一个小问题：假设在$\R$上考察 Lebesgue 可测的函数，$f = 0, g = \chi_\Q$，那么显然如果按照我们上面的定义，$g$的支集是全空间$\R$（有理数在实数中稠密）而$f$的支集是空集，但是$f$和$g$是几乎处处相等的（有理数集是 Lebesgue 零测集），因此上面对支集的定义就不太合理了。下面我们给出适用于测度几乎处处意义下的支集的定义：

假设有可分的度量空间$X$，及测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$，$f: X \to \R$是这个空间上的任意函数（可以不可测），开集$O_i \subset X$是使得$f$在$O_i$上几乎处处为零的开集，记$\mathcal{O}_f$收集了所有满足上面条件的$O_i$的并集，可以证明$f$在$\mathcal{O}_f$上几乎处处为零（注意这不是显然的，因为$O_i$可能有不可数多个），我们定义$X \setminus \mathcal{O}_f$是$f$的支集。

按此定义，支集依然始终是闭集，且当$f$是连续函数或具有至多有限个不连续点的函数时这个定义和最初的定义等价。

σ有限性

下面我们指出：一般而言，可测函数的支集不一定σ有限，例如$\R^n$上的非零常函数，不过可积函数的支集是σ有限的，这是因为如果记$E_{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|f(x)|>1/n\}$，那么由

$$m(E_{n})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{E_{n}}(x)\mathrm {d} x\leqslant n\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|\mathrm {d} x<+\infty .$$

以及$E = \bigcup_{n = 1}^\infty E_n$就得到结论。

这个结论在一般的测度空间上也成立。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.