控制收斂定理

在實變函數中，控制收斂定理（dominated convergence theorem, DCT）是 Lebesgue 積分的重要結果之一。

內容

假設$(E,{\mathcal {F}},\mu )$是測度空間，實值或復值函數序列$\{f_{k}(x)\}_{k=1}^{\infty }\subset L^{1}(E)$且

1. $\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \quad \text{a.e.} x \in E.$
2. $\exists F(x) \in L(E), |f_k (x)| \leqslant F(x), \quad \text{a.e.} x \in E.$在這裡$F(x)$稱為控制函數。

那麼極限可以和積分交換次序，

$$\lim_{k \to \infty} \int_E |f_k (x) - f(x)| \mathrm{d}x = 0.$$

進而有

$$\lim_{k \to \infty} \int_E f_k (x) \mathrm{d}x = \int_E f(x) \mathrm{d}x.$$

當$m(E) < + \infty$時控制函數可以取特殊的常數。

當然，上面的控制函數要求對所有的$k$成立，我們可以取得一般一些：設$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty \subset L(E)$且

1. $\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \quad \text{a.e.} x \in E.$
2. $\exists F(x) \in L(E), |f_k (x)| \leqslant g_k(x), \quad \text{a.e.} x \in E.$
3. $\lim_{k \to \infty} \int_E g_k(x) \mathrm{d}x = \lim_{k \to \infty} \int_E g(x) \mathrm{d}x.$

那麼

$$\lim_{k \to \infty} \int_E |f_k (x) - f(x)| \mathrm{d}x = 0.$$

證明

我們就一般情形進行證明。

$$\begin{align} \int_E 2g \mathrm{d}x & = \int_E \liminf_{k \to \infty} (g + g_k) \mathrm{d}x \\ & \leqslant \int_E \liminf_{k \to \infty} (g+g_k-|f-f_k|) \mathrm{d}x \\ & \leqslant \liminf_{k \to \infty} \int_E (g+g_k-|f-f_k|) \mathrm{d}x \\ & \leqslant \int_E 2g \mathrm{d}x - \limsup_{k \to \infty} \int_E |f-f_k| \mathrm{d}x \\ \end{align}$$

於是

$$\limsup_{k \to \infty} \int_E |f-f_k| \mathrm{d}x \leqslant 0.$$

這就推出了$L^1$收斂性，最後

$$\begin{align} \lim_{k \to \infty} \left| \int_E f_k(x) \mathrm{d}x - \int_E f(x) \mathrm{d}x \right| \leqslant \lim_{k \to \infty} \int_E |f_k(x) - f(x)| \mathrm{d}x = 0 \end{align}$$

便可得到積分的逐點收斂。

評述

這個定理實際上是在說：$L^1$空間中，幾乎處處收斂加上模收斂（即$\| f_ k \| \to \| f \|$）蘊含強收斂（即$\| f_k - f \| \to 0$），只需要在第二個定理中取$g_k = |f_k|$即可，注意：

1. 只有幾乎處處收斂是得不出強收斂的，這是因為這個函數序列可能在一個零測集上趨近於無窮，考察$[0,1]$中定義的函數列
   $$f_k(x) = \begin{cases} n, & x \in [0, 1/n], \\ 0, & x \in (1/n, 1] \end{cases}$$
   那麼$f_k$在$[0,1]$上幾乎處處收斂於零，但是$\lim_{k \to \infty} \| f_k - f \|_{L^1([0, 1])} = 1.$
2. 上一個評註之中的例子也表明，條件中的模收斂不能改為模有界，但是在測度有限的$L^p$空間中$L^p$模有界以及幾乎處處收斂可以得到比$p$小的指標$r$中的$L^{r}$強收斂，參見有界收斂定理。
3. 只有模收斂是得不出強收斂的，因為如果可以，那麼一個函數序列$f_k$可以模收斂到$\pm f$，當$f$不是零的時候強收斂的極限將會不唯一，矛盾。
4. 上述結論反過來不對，強收斂不能蘊含幾乎處處收斂。一個例子是在$[0,1]$上令$f_{n,i}(x)$取$\left[ \dfrac{i-1}{n}, \dfrac{i}{n} \right]$，那麼函數序列$\{ f_{1,1}, f_{2,1}, f_{2,2}, f_{3,1}, \cdots \}$強收斂且模收斂到零，但它不是幾乎處處收斂的。
5. 強收斂可以推出模收斂，這是由範數的連續性保證的。
6. 推論
   $$\lim_{k \to \infty} \int_E f_k (x) \mathrm{d}x = \int_E f(x) \mathrm{d}x.$$
   並不是模收斂，因為$f_k, f$可能會變號，這種收斂性是十分難得的，它是某種弱收斂的體現，因為我們在很多時候做放縮的時候或直接將絕對值放進積分中從而得到模收斂的結果。
7. 結論中幾乎處處收斂的條件可以減弱為依測度收斂（見下文），但是不能改為弱收斂（詳見這裡），如果我們是在$L^p$空間（$1 < p < +\infty$），那麼弱收斂和模收斂就可以推出強收斂，$L^1$空間推不出的本質原因是$L^\infty$不是一致凸空間（在一致凸空間中，弱收斂和模收斂就可以推出強收斂）。

依測度收斂型

設$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty \subset L(\R^n)$且

1. $\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$在$\R^n$上依測度收斂於$f(x).$
2. $\exists F(x) \in L(E), |f_k (x)| \leqslant F(x), \quad \text{a.e.} x \in \R^n.$

那麼

$$\lim_{k \to \infty} \int_{\R^n} f_k (x) \mathrm{d}x = \int_{\R^n} f(x) \mathrm{d}x.$$

參考資料

1. 周民強, 《實變函數論（第三版）》, 北京大學出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.