控制收敛定理

在实变函数中，控制收敛定理（dominated convergence theorem, DCT）是 Lebesgue 积分的重要结果之一。

内容

假设$(E,{\mathcal {F}},\mu )$是测度空间，实值或复值函数序列$\{f_{k}(x)\}_{k=1}^{\infty }\subset L^{1}(E)$且

1. $\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \quad \text{a.e.} x \in E.$
2. $\exists F(x) \in L(E), |f_k (x)| \leqslant F(x), \quad \text{a.e.} x \in E.$在这里$F(x)$称为控制函数。

那么极限可以和积分交换次序，

$$\lim_{k \to \infty} \int_E |f_k (x) - f(x)| \mathrm{d}x = 0.$$

进而有

$$\lim_{k \to \infty} \int_E f_k (x) \mathrm{d}x = \int_E f(x) \mathrm{d}x.$$

当$m(E) < + \infty$时控制函数可以取特殊的常数。

当然，上面的控制函数要求对所有的$k$成立，我们可以取得一般一些：设$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty \subset L(E)$且

1. $\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \quad \text{a.e.} x \in E.$
2. $\exists F(x) \in L(E), |f_k (x)| \leqslant g_k(x), \quad \text{a.e.} x \in E.$
3. $\lim_{k \to \infty} \int_E g_k(x) \mathrm{d}x = \lim_{k \to \infty} \int_E g(x) \mathrm{d}x.$

那么

$$\lim_{k \to \infty} \int_E |f_k (x) - f(x)| \mathrm{d}x = 0.$$

证明

我们就一般情形进行证明。

$$\begin{align} \int_E 2g \mathrm{d}x & = \int_E \liminf_{k \to \infty} (g + g_k) \mathrm{d}x \\ & \leqslant \int_E \liminf_{k \to \infty} (g+g_k-|f-f_k|) \mathrm{d}x \\ & \leqslant \liminf_{k \to \infty} \int_E (g+g_k-|f-f_k|) \mathrm{d}x \\ & \leqslant \int_E 2g \mathrm{d}x - \limsup_{k \to \infty} \int_E |f-f_k| \mathrm{d}x \\ \end{align}$$

于是

$$\limsup_{k \to \infty} \int_E |f-f_k| \mathrm{d}x \leqslant 0.$$

这就推出了$L^1$收敛性，最后

$$\begin{align} \lim_{k \to \infty} \left| \int_E f_k(x) \mathrm{d}x - \int_E f(x) \mathrm{d}x \right| \leqslant \lim_{k \to \infty} \int_E |f_k(x) - f(x)| \mathrm{d}x = 0 \end{align}$$

便可得到积分的逐点收敛。

评述

这个定理实际上是在说：$L^1$空间中，几乎处处收敛加上模收敛（即$\| f_ k \| \to \| f \|$）蕴含强收敛（即$\| f_k - f \| \to 0$），只需要在第二个定理中取$g_k = |f_k|$即可，注意：

1. 只有几乎处处收敛是得不出强收敛的，这是因为这个函数序列可能在一个零测集上趋近于无穷，考察$[0,1]$中定义的函数列
   $$f_k(x) = \begin{cases} n, & x \in [0, 1/n], \\ 0, & x \in (1/n, 1] \end{cases}$$
   那么$f_k$在$[0,1]$上几乎处处收敛于零，但是$\lim_{k \to \infty} \| f_k - f \|_{L^1([0, 1])} = 1.$
2. 上一个评注之中的例子也表明，条件中的模收敛不能改为模有界，但是在测度有限的$L^p$空间中$L^p$模有界以及几乎处处收敛可以得到比$p$小的指标$r$中的$L^{r}$强收敛，参见有界收敛定理。
3. 只有模收敛是得不出强收敛的，因为如果可以，那么一个函数序列$f_k$可以模收敛到$\pm f$，当$f$不是零的时候强收敛的极限将会不唯一，矛盾。
4. 上述结论反过来不对，强收敛不能蕴含几乎处处收敛。一个例子是在$[0,1]$上令$f_{n,i}(x)$取$\left[ \dfrac{i-1}{n}, \dfrac{i}{n} \right]$，那么函数序列$\{ f_{1,1}, f_{2,1}, f_{2,2}, f_{3,1}, \cdots \}$强收敛且模收敛到零，但它不是几乎处处收敛的。
5. 强收敛可以推出模收敛，这是由范数的连续性保证的。
6. 推论
   $$\lim_{k \to \infty} \int_E f_k (x) \mathrm{d}x = \int_E f(x) \mathrm{d}x.$$
   并不是模收敛，因为$f_k, f$可能会变号，这种收敛性是十分难得的，它是某种弱收敛的体现，因为我们在很多时候做放缩的时候或直接将绝对值放进积分中从而得到模收敛的结果。
7. 结论中几乎处处收敛的条件可以减弱为依测度收敛（见下文），但是不能改为弱收敛（详见这里），如果我们是在$L^p$空间（$1 < p < +\infty$），那么弱收敛和模收敛就可以推出强收敛，$L^1$空间推不出的本质原因是$L^\infty$不是一致凸空间（在一致凸空间中，弱收敛和模收敛就可以推出强收敛）。

依测度收敛型

设$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty \subset L(\R^n)$且

1. $\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$在$\R^n$上依测度收敛于$f(x).$
2. $\exists F(x) \in L(E), |f_k (x)| \leqslant F(x), \quad \text{a.e.} x \in \R^n.$

那么

$$\lim_{k \to \infty} \int_{\R^n} f_k (x) \mathrm{d}x = \int_{\R^n} f(x) \mathrm{d}x.$$

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.