指数分布族

指数分布族是数理统计中的一类参数分布族，很多常见的概率分布都是指数分布族。

概念

假设有样本空间$\mathcal {X}$上的参数分布族$\mathcal{F} = \{ f(x, \theta): \theta \in \varTheta \}$，概率密度如果可以表示为 $$f(x, \theta) = C(\theta) \exp \left( \sum_{k=1}^n Q_k(\theta) T_k(x) \right) h(x).$$ 其中$C(\theta), Q_k(\theta)$仅是$\theta$的函数，$T_k(x), h(x)$仅是$x$的函数且$C(x), h(x) \geqslant 0.$

上述定义不限于一元情形，对参数和样本空间是多维的情形也可以定义。

例子

1. 参数为$\mu, \sigma^2$的正态分布族是指数分布族。
2. 参数为$n \in \N^+, \theta \in (0, 1)$的二项分布族为指数分布族。
3. 参数为$\gamma, \lambda$的Γ 分布族是指数分布族。